Question

 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MA = MB + MC.

Answer 1

Nếu được sử dụng định lú Ptoleme thì bài này chứng minh rất đơn giản.

Không được sử dụng Ptoleme thì chúng ta dựng hình:

Dựng đường tròn tâm M bán kính MC cắt AM tại D \(\Rightarrow MC=MD\)

Mà \(\widehat{CMA}=\widehat{CBA}\) (cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow\widehat{CMA}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta MCD\) đều \(\Rightarrow\widehat{MCD}=60^0\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=60^0\\\widehat{BCM}+\widehat{DCB}=60^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCM}\)

Đồng thời \(AC=BC\) ; \(CD=CM\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCM\) (c.g.c)

\(\Rightarrow AD=BM\)

\(\Rightarrow AM=AD+DM=BM+CM\) (đpcm)