a) Xét tam giác ABD vuông tại B
=> \(\widehat{BAD}+\widehat{BDA}=90^o\)
mà \(\widehat{BAD}=30^o\) => \(\widehat{BDA}=60^o\)
=> \(\cos\widehat{BDA}=\frac{DB}{DA}=cos60^o=\frac{1}{2}\)
=> BD = \(\frac{1}{2}AD\) => AD = 2BD(đpcm)
b)Ta có:
\(\widehat{AFB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> \(BF\perp AF\)
Xét tam giác ABE có AB=BE
=> tam giác ABE cân tại B
Mà BF là đường cao(BF \(\perp AE\))
=> BF cũng là đường trung tuyến
=> F là trung điểm của AE (đpcm)
c) Xét tam giác ABE vuông cân tại B, BF là đường trung tuyến
=> BF = \(AF=FE=\frac{1}{2}AE\)
=> tam giác AFB cân tại F
=> \(\widehat{FAB}=\widehat{FBA}\)
Mà \(\widehat{FAB}=\widehat{FEB}\) (tam giác BEA cân tại B), \(\widehat{FBA}=\widehat{FCA}\)
=> \(\widehat{FEB}=\widehat{FCA}\)
Xét tam giác FCA và DEA có
\(\widehat{FEB}=\widehat{FCA}\)
góc A chung
=> tam giác FCA \(\sim\)tam giác DEA(g.g)
=> \(\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AE}\)=> AF.AE = AC.AD(đpcm)