Question

cho a+b+c=6 ; a^2+b^2+c^2=12

Tính giá trị biểu thức:

A = \(\dfrac{a^2}{a^2+bc}+\dfrac{b^2}{b^2+ac}+\dfrac{c^2}{c^2+ab}\)

Answer 1

Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+c=6\\ a^2+b^2+c^2=12\end{matrix}\right.\Rightarrow ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{6^2-12}{2}=12\)

Suy ra \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac(=12)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0(*)\)

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$. Do đó để $(*)$ xảy ra thì:

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)

Kết hợp với $a+b+c=6\Rightarrow a=b=c=2$

Do đó: \(A=\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ac}+\frac{c^2}{c^2+ab}=\frac{2^2}{2^2+2.2}+\frac{2^2}{2^2+2.2}+\frac{2^2}{2^2+2.2}=\frac{3}{2}\)