Ta có:
\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{d}{bd}+\frac{b}{bd}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\frac{d+b}{bd}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\frac{b+d}{bd}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{b+d}{2bd}.\)
\(\Rightarrow2bd=c.\left(b+d\right)\) (1).
Vì b là trung bình cộng của a và c (gt).
\(\Rightarrow b=\frac{a+c}{2}.\)
Thay \(b=\frac{a+c}{2}\) vào (1) ta được:
\(2.\frac{a+c}{2}.d=c.\left(\frac{a+c}{2}+d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+c\right).d}{1}=\frac{c.\left(a+c+2d\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right).2d=c.\left(a+c+2d\right)\)
\(\Rightarrow2ad+2cd=ac+c^2+2cd\)
\(\Rightarrow2ad=ac+c^2\)
\(\Rightarrow2ad=c.\left(a+c\right)\)
Mà \(a+c=2b\) (vì b là trung bình cộng của a và c).
\(\Rightarrow2ad=c.2b\)
\(\Rightarrow2ad=2bc\)
\(\Rightarrow ad=bc\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!