a) Áp dụng công thức: \(a+b+c=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a-b\\y=b-c\\z=c-a\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x+y+z=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thay vào biểu thức trên, ta được: \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Vậy ...
b) Tương tự câu a
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-2c=x\\b+c-2a=y\\c+a-2b=z\end{matrix}\right.\)(*)
Ta có: \(x+y+z=a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thay (*) vào biểu thức trên, ta được: \(\left(a+b-2c\right)^3+\left(b+c-2a\right)^3+\left(c+a-2b\right)^3=3\left(a+b-2c\right)\left(b+c-2a\right)\left(c+a-2b\right)\)
Vậy ...
c) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\)(*)
Ta có: \(x+y+z=a+b-c+b+c-a+c+a-b=a+b+c\)
Ta có hằng đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(C=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Thay (*) vào biểu thức trên, ta được: \(C=3\left(a+b-c+b+c-a\right)\left(b+c-a+c+a-b\right)\left(c+a-b+a+b-c\right)\)
\(=3.2b.2c.2a=24abc\)