Question

Bài 1: Cho a, b,c là 3 số tùy ý. CMR: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Bài 2: Cho a, b,c là 3 số tùy ý. CMR: a² + b² + c² + \(\frac{3}{4}\) ≥ a + b + c

Answer 1

Bài 1:

Xét A= \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\)

\(2A=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\\ =\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\\ =\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\\ \Rightarrow A\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Answer 2

Bài 2:

Xét \(A=a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}-a-b-c\)

\(\Rightarrow A=\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)\\ =\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b,c\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)