Toán

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔACE vuông tại C có

AB=AC

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE

=>AD=AE và BD=CE

b: Xét ΔABI vuông tại B và ΔACI vuông tại C có

AI chung

AB=AC

Do đó: ΔABI=ΔACI

=>IB=IC

Ta có: IB+ID=BD

IC+IE=CE

mà IB=IC và BD=CE

nên ID=IE

ΔIAB=ΔIAC

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

c: Xét ΔAED có \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}\)

nên BC//ED

Ta có: AD=AE
=>A nằm trên đường trung trực của DE(1)

Ta có: ID=IE

=>I nằm trên đường trung trực của DE(2)

Từ (1),(2) suy ra AI là đường trung trực của DE

=>AI\(\perp\)DE
d: ΔCED vuông tại C

=>\(\widehat{CIE}+\widehat{CDE}=90^0\)

=>\(\widehat{CDE}=90^0-30^0=60^0\)

Ta có: BC//DE

=>\(\widehat{ACB}=\widehat{ADE}\)(hai góc đồng vị)

=>\(\widehat{ACB}=60^0\)

Vậy: Để \(\widehat{IED}=30^0\) thì ΔABC cần có thêm điều kiện là \(\widehat{ACB}=60^0\)

Bài 5:

a: Xét ΔABM và ΔAEM có

AB=AE

\(\widehat{BAM}=\widehat{EAM}\)

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔAEM

b:ΔABM=ΔAEM

=>MB=ME

=>M nằm trên đường trung trực của BE(1)

Ta có: AB=AE
=>A nằm trên đường trung trực của BE(2)

Từ (1),(2) suy ra AM là đường trung trực của BE

=>AM\(\perp\)BE

c: ΔABM=ΔAEM

=>\(\widehat{ABM}=\widehat{AEM}\)

=>\(\widehat{AEM}=90^0\)

=>ME\(\perp\)AC tại E

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔMEC vuông tại E có

MB=ME

BN=EC

Do đó: ΔMBN=ΔMEC

=>\(\widehat{BMN}=\widehat{EMC}\)

=>\(\widehat{BMN}+\widehat{BME}=180^0\)

=>E,M,N thẳng hàng

a: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{9}=\dfrac{2x-y+3z}{2\cdot3-8+3\cdot9}=\dfrac{50}{25}=2\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot3=6\\y=2\cdot8=16\\z=2\cdot9=18\end{matrix}\right.\)

b: 3x=4y

=>\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6}\)

\(\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\)

=>\(\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{9}\)

=>\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{9}\)

mà x+y-z=35

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{9}=\dfrac{x+y-z}{8+6-9}=\dfrac{35}{5}=7\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=7\cdot8=56\\y=7\cdot6=42\\z=7\cdot9=63\end{matrix}\right.\)

c: 2x=3y=5z

=>\(\dfrac{2x}{30}=\dfrac{3y}{30}=\dfrac{5z}{30}\)

=>\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{10}=\dfrac{z}{6}\)

mà x+y-z=95

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{10}=\dfrac{z}{6}=\dfrac{x+y-z}{15+10-6}=\dfrac{95}{19}=5\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=5\cdot15=75\\y=5\cdot10=50\\z=5\cdot6=30\end{matrix}\right.\)

d: Đặt \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}=k\)

=>x=5k; y=7k; z=3k

\(x^2+y^2-z^2=585\)

=>\(\left(5k\right)^2+\left(7k\right)^2-\left(3k\right)^2=585\)

=>\(25k^2+49k^2-9k^2=585\)

=>\(65k^2=585\)

=>\(k^2=9\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}k=3\\k=-3\end{matrix}\right.\)

TH1: k=3

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=5\cdot3=15\\y=7\cdot3=21\\z=3\cdot3=9\end{matrix}\right.\)

TH2: k=-3

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=5\cdot\left(-3\right)=-15\\y=7\cdot\left(-3\right)=-21\\z=3\cdot\left(-3\right)=-9\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

a: \(\dfrac{13}{36}-\dfrac{5}{18}x=-\dfrac{11}{9}\)

=>\(\dfrac{5}{18}x=\dfrac{13}{36}+\dfrac{11}{9}=\dfrac{13}{36}+\dfrac{44}{36}=\dfrac{57}{36}=\dfrac{19}{12}\)

=>\(x=\dfrac{19}{12}:\dfrac{5}{18}=\dfrac{19}{12}\cdot\dfrac{18}{5}=\dfrac{19\cdot3}{2\cdot5}=\dfrac{57}{10}\)

b: \(\left|3x-2\right|-\sqrt{25}=-2\)

=>\(\left|3x-2\right|=-2+5=3\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}3x-2=3\\3x-2=-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}3x=3+2=5\\3x=-3+2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\x=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

c: \(16\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2=\sqrt{9}+\left|-3-19\right|\)

=>\(16\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2=3+\left|-22\right|=25\)

=>\(\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}\\x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{8}{4}=2\\x=-\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

d: \(\left|2x-\dfrac{1}{2}\right|=\left|x+\dfrac{3}{4}\right|\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x-\dfrac{1}{2}=x+\dfrac{3}{4}\\2x-\dfrac{1}{2}=-x-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x-x=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\\2x+x=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{5}{4}\\3x=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{4}\\x=-\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

a: \(\dfrac{11}{24}-\dfrac{5}{41}+\dfrac{13}{24}+0,5-\dfrac{36}{41}\)

\(=\left(\dfrac{11}{24}+\dfrac{13}{24}\right)-\left(\dfrac{5}{41}+\dfrac{36}{41}\right)+0,5\)

=1-1+0,5

=0,5

b: \(\left(-0,5+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}\right)\cdot\left(0,5-\dfrac{3}{4}\right)^2\)

\(=\left(-\dfrac{6}{12}+\dfrac{8}{12}-\dfrac{3}{12}\right)\cdot\left(\dfrac{2}{4}-\dfrac{3}{4}\right)^2\)

\(=\left(-\dfrac{1}{12}\right)\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{-1}{192}\)

c: \(-4\cdot\sqrt{\dfrac{4}{25}}+6\cdot\sqrt{0,16}-7\cdot\sqrt{0,04}+0\cdot\sqrt{2011}\)

\(=-4\cdot\dfrac{2}{5}+6\cdot0,4-7\cdot0,2\)

\(=-\dfrac{8}{5}+\dfrac{12}{5}-\dfrac{7}{5}=\dfrac{-3}{5}\)

d: \(\left|\dfrac{4}{7}-\dfrac{1}{14}\right|-\sqrt{\dfrac{36}{25}}+\left(\dfrac{7}{20}\right)^8:\left(\dfrac{7}{20}\right)^7\)

\(=\left|\dfrac{8}{14}-\dfrac{1}{14}\right|-\dfrac{6}{5}+\dfrac{7}{20}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{5}+\dfrac{7}{20}=\dfrac{10}{20}-\dfrac{24}{20}+\dfrac{7}{20}=\dfrac{-7}{20}\)

a: Xét ΔADB và ΔADC có

AB=AC

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

AD chung

Do đó: ΔADB=ΔADC

b: ΔADB=ΔADC

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AD\(\perp\)BC

c: Ta có: \(\widehat{ADH}+\widehat{HAD}=90^0\)(ΔAHD vuông tại H)

\(\widehat{ACB}+\widehat{DAC}=90^0\)(ΔADC vuông tại D)

Do đó: \(\widehat{ADH}=\widehat{ACB}\)

d: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAHE vuông tại H có

AH chung

HD=HE

Do đó: ΔAHD=ΔAHE

=>\(\widehat{HAD}=\widehat{HAE}\) và AD=AE

Xét ΔADC và ΔAEC có 

AD=AE

\(\widehat{DAC}=\widehat{EAC}\)

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔAEC

=>\(\widehat{ADC}=\widehat{AEC}\)

=>\(\widehat{AEC}=90^0\)

=>EC\(\perp\)EA

2 góc dan và nab cộng lại thành góc a của hình vuông nên bằng 90 độ và abm = dan từ chứng minh trên nên người ta thay vào

a: Xét tứ giác OQAI có \(\widehat{OQA}+\widehat{OIA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAQI là tứ giác nội tiếp

=>O,A,Q,I cùng thuộc một đường tròn

b: Xét tứ giác QOIA có \(\widehat{QOI}=\widehat{OQA}=\widehat{OIA}=90^0\)

nên QOIA là hình chữ nhật

=>QA//OI và QA=OI

QA//OI nên QA//OK

QA=OI

mà OI=OK

nên QA=OK

Xét tứ giác QKOA có

QA//OK

QA=OK

Do đó: QKOA là hình bình hành

=>QK//OA

c: Hình chữ nhật OQAI có OQ=OI

nên OQAI là hình vuông

=>OA=QA=AI=OI=R

ΔOQA vuông tại Q

=>\(S_{OQA}=\dfrac{1}{2}\cdot QO\cdot QA=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot R=\dfrac{R^2}{2}\)

ΔOIA vuông tại I

=>\(S_{IOA}=\dfrac{1}{2}\cdot IO\cdot IA=\dfrac{1}{2}R^2\)

Diện tích hình quạt tròn OQI là:

\(S_{q\left(OQI\right)}=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot90}{360}=\Omega\cdot\dfrac{R^2}{4}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến AQ,AI và cung nhỏ IQ là:

\(S_{OQA}+S_{OIA}-S_{q\left(OQI\right)}=R^2-\Omega\cdot\dfrac{R^2}{4}\)

d: Xét (O) có

\(\widehat{AIE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến IA và dây cung IE

\(\widehat{IFE}\) là góc nội tiếp chắn cung IE

Do đó: \(\widehat{AIE}=\widehat{AFI}\)

Xét ΔAIE và ΔAFI có

\(\widehat{AIE}=\widehat{AFI}\)

\(\widehat{IAE}\) chung

Do đó: ΔAIE~ΔAFI

=>\(\dfrac{AI}{AF}=\dfrac{AE}{AI}\)

=>\(AI^2=AE\cdot AF\)