Cho a,b > 0 chứng minh ` 4(a + 2b)^3 >= 4 . 27. b . (a + b)^2/4`
Violympic toán 9
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
$a+2b=\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}+b\geq 3\sqrt[3]{\frac{b(a+b)^2}{4}}$
$\Rightarrow 4(a+2b)^3\geq 4.[3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^2b}{4}}]^3$
$=27b(a+b)^2$ (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho hai số a,b dương thỏa mãn a + b = 2. tìm GTNN biểu thức
B = √a^3+√b^3
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\sqrt{a^3}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{\sqrt{a^3}.\sqrt{a}}=2a$
$\sqrt{b^3}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{b^3}.\sqrt{b}}=2b$
Cộng hai BĐT trên ta có:
$\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2(a+b)$
$\Rightarrow B+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 4(1)$
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq (a+b)(1+1)=2.2=4\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow B\geq 4-2=2$
Vậy $B_{\min}=2$.
Đúng 0
Bình luận (0)
AD
22 tháng 10 2023 lúc 21:42
rút gọn biểu thức sau A=\(\dfrac{x+12}{x-4}\)+\(\dfrac{1 }{\sqrt{x}+2}\)-\(\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\)(x≥0,x≠4)
\(A=\dfrac{x+12}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\)
\(=\dfrac{x+12+\sqrt{x}-2-4\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+10-4\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)
Đúng 1
Bình luận (2)
AD
22 tháng 10 2023 lúc 17:30
một cột điện cao 5m có bóng trên mặt đất dài 4m khi đó tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh cột điện tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng (làm tròn đến phút )
Gọi a là góc cần tìm
Ta có:
tan a = 5/4
⇒ a ≈ 50⁰12'
Đúng 0
Bình luận (1)
AD
20 tháng 10 2023 lúc 21:11
cho tam giác ABCvuông tai A đường cao AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn BH=3,6cn và
HC= 6,4cm trên cạnh AC lấy điểm M (M≠A,M≠C) kẻ AD vuông góc với MB tại D
1,TÍNH AB . AC .GÓC B .GÓC C(làm tròn đến phút)
2 cm BD*BM=BH*BC
3 CM 4 điểm A B C D cùng thuộc 1 đường tròn. CM AC là tiếp tuyến của đường tròn đó
1:
BC=BH+CH
=3,6+6,4
=10(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{3.6\cdot10}=6\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6.4\cdot10}=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)
=>\(\widehat{C}\simeq37^0\)
ΔABC vuông tại A nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
=>\(\widehat{B}\simeq90^0-37^0=53^0\)
2:
ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(1\right)\)
ΔABM vuông tại A có AD là đường cao
nên \(BD\cdot BM=BA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BC=BD\cdot BM\)
Đúng 2
Bình luận (0)
AD
20 tháng 10 2023 lúc 21:01
kết quả đưa thừa số vào trong dấu căn của biều thức x√y với x<0,y>0
\(x\sqrt{y}=-\sqrt{x^2\cdot y}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
AD
20 tháng 10 2023 lúc 20:57
nếu tam giác MNP vuông tại M thì cosN bằng
AD
20 tháng 10 2023 lúc 20:52
tung độ gốc của đường thẳng y=-3/4x+5/2 bằng ?
Thay x=0 vào (d): y=-3/4x+5/2, ta được:
\(y=-\dfrac{3}{4}\cdot0+\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{2}\)
=>Tung độ gốc là 5/2
Đúng 2
Bình luận (1)
Bài 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính: n) 7/9 * sqrt(81) - 1/2 * sqrt(16) . c) (sqrt(8/3) - sqrt(24) + sqrt(50/3)) , sqrt 12 . » sqrt((sqrt(7) - 4) ^ 2) + sqrt(7) 1/(5 + 2sqrt(3)) + 1/(5 - 2sqrt(3))
Cho a+b+c=a^2+b^2+c^2=1 , a/x=b/y=c/z. Chứng minh xy +yz+xz=0
Lời giải:
Ta có:
$(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=1-1=0$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)=0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ac=0$
Đặt $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t\Rightarrow x=\frac{a}{t}, y=\frac{b}{t}, z=\frac{c}{t}$
Do đó:
$xy+yz+xz=\frac{ab}{t^2}+\frac{bc}{t^2}+\frac{ac}{t^2}$
$=\frac{1}{t^2}(ab+bc+ac)=\frac{1}{t^2}.0=0$
Ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)