A=\(\frac{4n+1}{2n+3}=\frac{2\left(2n+3\right)-5}{2n+3}=2+\frac{-5}{2n+3}\)

Để A nguyên thì \(\frac{-5}{2n+3}\) phải nguyên

=> \(2n+3\inƯ\left(-5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=> \(n\in\left\{-1;-2;1;-4\right\}\)

Để A là số nguyên thì

4n+1\(^._:\)2n+3

=>4n+6-5\(^._:\)2n+3

Vì 4n+6\(^._:\)2n+3

=>5\(^._:\)2n+3

=>2n+3\(\in\)Ư(5)={1;-1;5;-5}

Ta có bảng sau:

KL: n\(\in\){-1;-2;1;-4}

\(A=\frac{4n+1}{2n+3}=\frac{2\left(2n+3\right)-5}{2n+3}=2-\frac{5}{2n+3}\)

Vậy để A nguyên thì 2n+3\(\in\)Ư(5)

Mà Ư(5)={1;-1;5;-5}

=>2n+3={1;-1;5;-5}

Ta có bảng sau

Vậy n={-1;-2;-4;1}

Vì \(\frac{4n+1}{2n+3}\) là số nguyên nên  \(4n+1⋮2n+3\)

\(\Rightarrow4n+6-5⋮2n+3\)

\(\Rightarrow2\left(2n+3\right)-5⋮2n+3\)

\(\Rightarrow5⋮2n+3\)

\(\Rightarrow2n+3\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Nếu 2n + 3 = 1 thì n = -1

Nếu 2n + 3 = -1 thì n = -2

Nếu 2n + 3 = 5 thì n = 1

Nếu 2n + 3 = -5 thì n = -4

Vậy \(n\in\left\{-1;-2;1;-4\right\}\)

a) Để P đạt giá trị nguyên => 4n-1\(⋮\)2n-3

                                        => 2.(2n-3)+5\(⋮\)2n-3

   Mà 2.(2n-3)\(⋮\)2n-3

=>5\(⋮\)2n-3

=>2n-3\(\in\)Ư(5)

lập bảng

Vậy n \(\in\){-1;1;2;4}

b)Để P đạt giá trị nhỏ nhất => 2n-3 phải là số tự nhiện nhỏ nhất khác 0

TH1 2n-3=1

        2n=1+3

       2n=4

        n=4:2

        n=2( chọn)

 Vậy n=2

Để phép trên E Z thì tử chia hết cho mẫu

Ta có 4n-3 : 3n+1

3n+1 : 3n+1

12n-9 : 3n+1 (1)

12n+4 : 3n+1(2)

Lấy (1)-(2) ta dc 5 : 3n+1

3n+1 thuộc Ư(5)={-1;1;-5;5}

3n E { -2;0;-6;4}

Vì phép trên E Z

nên 3n=0 hoặc 3n=-6

=> n E {0;-2}

Để A là số nguyên thì 4n + 1 chia hết cho 2n + 3

<=> 4n + 1 chai hết cho 4n + 6

=> 4n + 6 - 5 chia hết 4n + 6

=>5 chia hết 4n + 6

=> 4n + 6 thuôc Ư(5) = {-1;1;-5;5}

Ta có bảng