Xét hiệu: (a³ + b³ + c³) - (a + b + c)

= (a³ - a) + (b³ - b) + (c³ - c)

= a.(a² - 1) + b.(b² - 1) + c.(c² - 1)

= a.(a - 1).(a + 1) + b.(b - 1).(b + 1) + c.(c - 1).(c + 1)

Dễ thấy mỗi tích trên chia hết cho 6 vì là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> (a³ + b³ + c³) - (a + b + c) chia hết cho 6

Mà a + b + c chia hết cho 6 => a³ + b³ + c³ chia hết cho 6 (đpcm)

Ta có \(P=a^3+b^3+c^3\)

\(P=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-7b\right)+\left(2c^3-2024c\right)+a+7b+2024c-c^3\)

\(P=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-7\right)+2c\left(c^2-1012\right)\)      ( do \(a+7b+2024c=c^3\))

 Dễ thấy \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.

 Xét \(f\left(b\right)=b\left(b^2-7\right)\). Dễ thấy \(f\left(b\right)\) chẵn với mọi số nguyên \(b\). Nếu \(b⋮3\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Nếu \(b⋮̸3\) thì \(b^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow b^2-7⋮3\) \(\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Vậy \(f\left(b\right)⋮3\) với mọi số nguyên \(b\). Vậy thì \(f\left(b\right)⋮6\)

 Xét \(g\left(c\right)=2c\left(c^2-1012\right)\). Cũng dễ thấy \(g\left(c\right)\) chẵn. Nếu \(c⋮3\) thì \(g\left(c\right)⋮3\). Nếu \(c⋮̸3\) thì \(c^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow c^2-1012⋮3\) \(\Rightarrow g\left(c\right)⋮3\). Thế thì \(g\left(c\right)⋮6\) với mọi số nguyên \(c\)

 Từ đó \(P=a\left(a^2-1\right)+f\left(b\right)+g\left(c\right)⋮6\), đpcm.

khó thế

=>5(a^3+b^3+c^3+d^3)=18(c^3+d^3)

=>5(a^3+b^3+c^3+d^3) chia hết cho 6

=>a^3+b^3+c^3+d^3 chia hêt cho 6

a^3-a=a(a+1)(a-1) chia hết cho 3!=6

b^3-b=b(b+1)(b-1) chia hết cho 3!=6

c^3-c=c(c+1)(c-1) chia hết cho 3!=6

d^3-d=d(d+1)(d-1) chia hết cho 3!=6

=>a^3+b^3+c^3+d^3-a-b-c-d chia hết cho 6

=>a+b+c+d chia hết cho 6