Do AB bằng cạnh lục giác đều nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AOB}=\dfrac{1}{6}.360^0=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=OA=R\\OH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

Dây CD bằng cạnh tam giác đều nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{COD}=\dfrac{1}{3}.360^0=120^0\Rightarrow\widehat{COK}=60^0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD=2CK=2OC.sin\widehat{COK}=R\sqrt{3}\\OK=OC.cos\widehat{COK}=\dfrac{R}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow HK=OH-OK=\dfrac{R}{2}\left(\sqrt{3}-1\right)\)

\(S=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right).HK=\dfrac{R^2}{2}\) (chắc có sự nhầm lẫn trong đáp án, không có hằng số \(\pi\) nào ở đây)

Lời giải:

Theo đề ta có:

\(\text{sđc(AD)}=\frac{1}{3}\text{sđc(AB)}=\frac{1}{9}[\text{sđc(AB)+sđc(BC)+sđc(CD)}]\)

\(=\frac{1}{9}(360^0-\text{sđc(AD)})\)

\(\Rightarrow \text{sđc(AD)}=36^0\)

\(\widehat{BEC}=\frac{\text{sđc(BC)-sđc(AD)}}{2}=\frac{3\text{sđc(AD)}-\text{sđc(AD)}}{2}=\text{sđc(AD)}=36^0\)

Có \(sđ\stackrel\frown{BD}=\widehat{BOD}=40^0\)  

Có \(\widehat{BED}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BD}+sđ\stackrel\frown{AC}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(60^0=\dfrac{1}{2}\left(40^0+sđ\stackrel\frown{AC}\right)\) \(\Leftrightarrow sđ\stackrel\frown{AC}=80^0\)

Ý B

B

`sdBC=1/2(sdBD+sdAC)`

`=>sdAC=2sdBC-sdBD`

`<=>sdAC=120^o-40^o=80^o`

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(m+8\right)>0\\x_1.x_2=m+8>0\\x_1+x_2=m-2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-28>0\\m>-8\\m< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-8< m< 4-2\sqrt{11}\)

Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in\left\{-7;-6;-5;-4;-3;-2\right\}\)

\(\Rightarrow\) Có 6 giá trị nguyên thỏa mãn.

\(\Delta'=4m^2-2\left(2m^2-1\right)=2>0\) pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=\dfrac{2m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm nên: \(2x_1^2-4mx_1+2m^2-1=0\Leftrightarrow2x_1^2=4mx_1-2m^2+1\)

Thay vào bài toán:

\(4mx_1-2m^2+1+4mx_2+2m^2-9< 0\)

\(\Leftrightarrow4m\left(x_1+x_2\right)-8< 0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-8< 0\)

\(\Rightarrow m^2< 1\Rightarrow-1< m< 1\)

Ta có: \(\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOD}=20^0\) (góc nội tiếp bằng 1 nửa góc ở tâm cùng chắn BD)

\(\widehat{BEC}=180^0-\widehat{BED}=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CBA}=180^0-\left(\widehat{BEC}+\widehat{BCD}\right)=40^0\) (tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AC}=2\widehat{CBA}=80^0\)

Hình vẽ (chỉ mang tính chất minh họa):

Gọi \(E=BH\cap AC\) => \(EB\perp AC\)

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta BHD\) có:

\(AH=HD\)

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{AEH}=\widehat{BDH}=90^0\)

=> \(\Delta AHE\)=\(\Delta BHD\) (ch-gn) \(\Rightarrow AE=DH\)

Tam giác ABE vuông tại E có: \(cosA=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DH}{AB}\)

Tam giác BAD vuông tại D có: \(cosB=\dfrac{BD}{AB}\)

\(\Rightarrow cosA=cosB\) 

Ý D