Ta có :
A = n(n + 1)(n + 2) (n + 3) + 1

= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Vậy A là số chính phương.

A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=(n²+3n)(n²+3n+2)+1

Đặt t=n²+3n ta có:

t(t+2)+1=t²+2t+1

=(t+1)²=(n²+3n+1)² là số chính phương

=>A là số chính phương

                                                                                                                                     # Aeri #

T=a3a2+2b2+c2+b3b2+2c2+a2+c3c2+2a2+b2T=aa2+c2+2(a2+b2)+bb2+a2+2(b2+c2)+cc2+b2+2(c2+a2)≤a2ac+4ab+b2ab+4bc+c2bc+4ca=12(1c+2b+1a+2c+1b+2c)≤12(1b+b+c+1a+c+c+1c+c+b)≤118(1a+1a+1b+1b+1b+1c+1c+1c+1a)=16(1a+1b+1c)=16(ab+bc+caabc)≤a2+b2+c26abc=3abc6abc=12T=a3a2+2b2+c2+b3b2+2c2+a2+c3c2+2a2+b2T=aa2+c2+2(a2+b2)+bb2+a2+2(b2+c2)+cc2+b2+2(c2+a2)≤a2ac+4ab+b2ab+4bc+c2bc+4ca=12(1c+2b+1a+2c+1b+2c)≤12(1b+b+c+1a+c+c+1c+c+b)≤118(1a+1a+1b+1b+1b+1c+1c+1c+1a)=16(1a+1b+1c)=16(ab+bc+caabc)≤a2+b2+c26abc=3abc6abc=12

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi {a2+b2+c2=3abca=b=c⇔3a2=3a3⇔a=1⇒a=b=c=1

Vì \(n^2+2n+12\) là scp nên 

\(n^2+2n+12=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2+2n+1\right)+11=k^2\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(n+1\right)^2=11\)

\(\Leftrightarrow\left(k-n-1\right)\left(k+n+1\right)=11\)

Vì k-n-1<k+n+1 nên

\(\left(k-n-1\right)\left(k+n+1\right)=1\cdot11\)

\(\hept{\begin{cases}k-n-1=1\\k+n+1=11\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k-n=2\\k+n=10\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}k=6\\n=4\end{cases}}}\)

Vậy n=4

b) Tương tự

cảm ơn bạn

N = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n+1)(n+2)

4N = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5-1) + ... + n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]

4N = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)(n)(n+1)(n+2)

4N = n(n+1)(n+2)(n+3)

4N + 1 = ( n² + 3n + 1)² ( đpcm )

Đặt n^2 + 4n + 2013 = k^2 (k thuộc N sao)

<=>(n+2)^2+2009=k^2

<=>2009 = k^2-(n+2)^2 = (k-n-2).(k+n+2)

Đến đó bạn tự giải đi nha ( tìm ước của 2009 để tìm n sau đó thử lại rùi kết luận)

n² + 4n + 2013 là số chính phương .

Đặt n² + 4n + 2013 = t² ( t \(\in\)Z⁺ )

<=> t² - ( n² + 4n + 4 ) = 2009

<=> t² - ( n + 2 )² = 2009

<=> ( t - n - 2 ) ( t + n + 2 ) = 2009

Ta thấy : t + n + 2 > t - n - 2\(\forall\)t , n \(\in\)Z⁺

=> t + n = 2009 => t = 1005

t - n - 2 = 1 => n = 1002 ( thỏa mãn )

Vậy n = 1002 thì n² + 4n + 2013 là số chính phương .

=> ( đpcm )

không có số nào

A= n⁴ - 2n³ + 3n² - 2n = (n² - n +1)² - 1 => A < (n² - n + 1)²

A= (n² - n)² +2n² - 2n,             Nếu 2n²-2n > 0 => (n² - n +1)² > A > (n² - n)², lúc này A kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp => A không                                                                                                                                                                                       thể là số chính phương
Vậy 2n²-2n < 0 v 2n² - 2n = 0 => n= 0;1