Ta có S=\(\frac{1+2+2^2+...+2^{2015}}{1-2^{2016}}\)

Đặt M là tử của 2 ta có 

M=1+2+2^2+...+2^2015

2M=2*(1+2+2^2+...+2^2015)

2M=2+2^2+2^3+...+2^2016

2M-M=(2+2^2+2^3+...+2^2016)-(1+2+2^2+...+2^2015)

M=2^2016-1

S=\(\frac{2^{2016}-1}{1-2^{2016}}\)

Ta thấy tử và mẫu của S là 2 số đối nhau.Mà 2 số đối nhau luôn có thương là -1

Nên S=-1

đặt tử là T ta có:

2T=2(1+2+2²+2³+...+2²⁰¹⁵)

2T=2+2²+2³+...+2²⁰¹⁶

2T-T=(2+2²+2³+...+2²⁰¹⁶)-(1+2+2²+2³+...+2²⁰¹⁵)

T=2²⁰¹⁶-1

thay T vào tử của S ta được:\(S=\frac{2^{2016}-1}{1-2^{2016}}=-1\)

Ta có:T=2+2²+...+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶

T có số số hạng là:\(\left(2016-1\right):1+1=2016\)(số hạng)\(⋮\) 3

\(\Rightarrow T=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)...+\left(2^{2014}+2^{2015}+2^{2016}\right)\)

\(\Rightarrow T=\left(2+2^2+2^3\right)+2^3\left(2+2^2+2^3\right)+...+2^{2013}\left(2+2^2+2^3\right)\)

\(\Rightarrow T=14+2^3.14+...+2^{2013}.14\)

\(\Rightarrow T=14.\left(2+2^3+...+2^{2013}\right)⋮14\)

Vậy \(T⋮14\)

(đpcm)

\(A=2^0+2^1+2^2+...+2^{2010}\)

\(2A=2^1+2^2+2^3+...+2^{2021}\)

\(2A-A=\left(2^1+2^2+2^3+...+2^{2021}\right)-\left(2^0+2^1+2^2+...+2^{2020}\right)\)

\(A=2^{2021}-1\)

Ta có: \(A=100^2+200^2+300^2+...+1000^2\)

\(=100^2\cdot\left(1+2^2+3^2+...+10^2\right)\)

\(=100^2\cdot385=3850000\)

3800

3850

            Bài làm :

Ta có :

 \(A=1+2+2^2+...+2^{2017}\text{(1)}\)

\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3+...+2^{2018}\text{(2)}\)

Lấy vế (2) trừ đi vế  (1) ;  ta có : 

\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2018}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+...+1^{2017}\right)\)

\(\Rightarrow A=2^{2018}-1\)

Vậy A=2²⁰¹⁸ - 1

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁷

⇔ 2A = 2( 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁷ )

⇔ 2A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁸

⇔ A = 2A - A

        = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁸ - ( 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁷ )

        = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁸ - 1 - 2 - 2² - 2³ - ... - 2²⁰¹⁷ 

        = 2²⁰¹⁸ - 1