\(A=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\\ A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\\ A=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\\ A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\left(Đpcm\right)\)

a)Ta có ; để A thuộc N <=> (2n+5) chia hết cho (3n+1)

<=> 3(2n+5) chia hết cho (3n+1)

<=>(6n+15) chia hết cho (3n+1)

<=> (6n + 2 +13) chia hết cho (3n+1)

<=> 13 chia hết cho (3n+1)

=> (3n+1) thuộc Ư(13)

Vì n thuộc N

=> (3n+1) = 1,13

=> n = 0 hoặc 4

b)Trong phần này ta sẽ áp dung 1 tính chất sau:

a/b < (a+m)/(b+m)      với a<b

Ta thấy :

x/(x+y)  >  x/(x+y+z)

y/(y+z) > y/(x+y+z)

z/(z+x) > z/(x+y+z)

=> A > x/(x+Y+z) + y/(x+y+z) + z/(x+y+z)

=> A>1

Ta thấy :

x/x+y < (x+z)/(x+y+z)

y/y+z < (y+x)/(x+y+z)

z/z+x < (z+y)/(x+y+z)

=> A < (x+z)/(x+y+z) +(y+x)/(x+y+z) +(z+y)/(x+y+z)

=>A< 2(x+y+z)/(x+y+z)

=> A<2

=>1<A<2

=> A ko phải là số nguyên(đpcm)

ta có:\(A=\frac{8^9+12}{8^9+7}=\frac{8^9+7+5}{8^9+7}=\frac{8^9+7}{8^9+7}+\frac{5}{8^9+7}=1+\frac{5}{8^9+7}\)

\(B=\frac{8^{10}+4}{8^{10}-1}=\frac{8^{10}-1+5}{8^{10}-1}=\frac{8^{10}-1}{8^{10}-1}+\frac{5}{8^{10}-1}=1+\frac{5}{8^{10}-1}\)

vì 8¹⁰-1>8⁹+7

\(\Rightarrow\frac{5}{8^{10}-1}<\frac{5}{8^9+7}\)

\(\Rightarrow1+\frac{5}{8^{10}-1}<1+\frac{5}{8^9+7}\)

=>A<B

Chưa nghĩ ra...!!!

Thấy:k^2>k^2-1=(k-1)(k+1) 2^2>1.3; 4^2>3.5;…;〖80〗^2>79.81
〖Suy ra: A〗^2=(1^2.3^2….〖79〗^2)/(2^2.4^2….〖80〗^2 )<(1^2.3^2….〖79〗^2)/(1.3.3.5.5.7….79.81)=1/81
Vậy: A<1/9

Trần Trung Hiếu - Trường THCS Trung Châu - Đan Phượng - TP. Hà Nội

a) Ta đặt \(P\left(x\right)=x^2+x+1\)

\(P\left(x\right)=x^2+x-20+21\)

\(P\left(x\right)=\left(x+5\right)\left(x-4\right)+21\)

Giả sử tồn tại số tự nhiên \(x\) mà \(P\left(x\right)⋮9\) \(\Rightarrow P\left(x\right)⋮3\). Do \(21⋮3\)  nên \(\left(x+5\right)\left(x-4\right)⋮3\). 

Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}x+5⋮3\\x-4⋮3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x+5⋮3\) thì suy ra \(x-4=\left(x+5\right)-9⋮3\) \(\Rightarrow\left(x+4\right)\left(x-5\right)⋮9\)

Lại có \(P\left(x\right)⋮9\) nên \(21⋮9\), vô lí.

Nếu \(x-4⋮3\) thì suy ra \(x+5=\left(x-4\right)+9⋮3\) \(\Rightarrow\left(x+4\right)\left(x-5\right)⋮9\)

Lại có \(P\left(x\right)⋮9\) nên \(21⋮9\), vô lí.

Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow x^2+x+1⋮̸9\)

b) Vì \(x^2+x+1⋮̸9\) nên \(y\le1\Rightarrow y\in\left\{0;1\right\}\)

Nếu \(y=0\Rightarrow x^2+x+1=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu \(y=1\) \(\Rightarrow x^2+x+1=3\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ta tìm được các cặp số (x; y) thỏa ycbt là \(\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)

a) Ta đặt 
�
(
�
)
=
�
2
+
�
+
1
P(x)=x 
2
 +x+1

�
(
�
)
=
�
2
+
�
−
20
+
21
P(x)=x 
2
 +x−20+21

�
(
�
)
=
(
�
+
5
)
(
�
−
4
)
+
21
P(x)=(x+5)(x−4)+21

Giả sử tồn tại số tự nhiên 
�
x mà 
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 
⇒
�
(
�
)
⋮
3
⇒P(x)⋮3. Do 
21
⋮
3
21⋮3  nên 
(
�
+
5
)
(
�
−
4
)
⋮
3
(x+5)(x−4)⋮3. 

Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra 
[
�
+
5
⋮
3
�
−
4
⋮
3
​
  
x+5⋮3
x−4⋮3
​
 

Nếu 
�
+
5
⋮
3
x+5⋮3 thì suy ra 
�
−
4
=
(
�
+
5
)
−
9
⋮
3
x−4=(x+5)−9⋮3 
⇒
(
�
+
4
)
(
�
−
5
)
⋮
9
⇒(x+4)(x−5)⋮9

Lại có 
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 nên 
21
⋮
9
21⋮9, vô lí.

Nếu 
�
−
4
⋮
3
x−4⋮3 thì suy ra 
�
+
5
=
(
�
−
4
)
+
9
⋮
3
x+5=(x−4)+9⋮3 
⇒
(
�
+
4
)
(
�
−
5
)
⋮
9
⇒(x+4)(x−5)⋮9

Lại có 
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 nên 
21
⋮
9
21⋮9, vô lí.

Vậy điều giả sử là sai \Rightarrow x^2+x+1⋮̸9

b) Vì x^2+x+1⋮̸9 nên 
�
≤
1
⇒
�
∈
{
0
;
1
}
y≤1⇒y∈{0;1}

Nếu 
�
=
0
⇒
�
2
+
�
+
1
=
1
y=0⇒x 
2
 +x+1=1

⇔
�
(
�
+
1
)
=
0
⇔x(x+1)=0

⇔
[
�
=
0
(
�
ℎ
ậ
�
)
�
=
−
1
(
�
�
ạ
�
)
⇔[ 
x=0(nhận)
x=−1(loại)
​
 

Nếu 
�
=
1
y=1 
⇒
�
2
+
�
+
1
=
3
⇒x 
2
 +x+1=3

⇔
�
2
+
�
−
2
=
0
⇔x 
2
 +x−2=0

⇔
(
�
−
1
)
(
�
+
2
)
=
0
⇔(x−1)(x+2)=0

⇔
[
�
=
1
(
�
ℎ
ậ
�
)
�
=
−
2
(
�
�
ạ
�
)
⇔[ 
x=1(nhận)
x=−2(loại)
​
 

Vậy ta tìm được các cặp số (x; y) thỏa ycbt là 
(
0
;
0
)
;
(
1
;
1
)
(0;0);(1;1)

a.

\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

b.

\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4

A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4

A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4

A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4

A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4

A=(x2+5xy+5y2)2

Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z

​A là số chính phương 

a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y⁴

                = (x² + 5xy + 4y²)( x² + 5xy + 6y²) + y² 
Đặt x² + 5xy + 5y² = h ( h
thuộc Z):
A = ( h - y²)( h + y²) + y² = h² – y² + y² = h² = (x² + 5xy + 5y²)²
Vì x, y, z
thuộc Z nên x² thuộc 
Z, 5xy
thuộc Z, 5y² thuộc
Z . Suy ra x² + 5xy + 5y² thuộc 
Z
Vậy A là số chính phương.

 

câu b. n^3+3n^2+2n=n*(n^2+3n+2)=n*(n^2+n+2n+2)=n*(n*(n+1)+2*(n+1)=n*(n+1)*(n+2) Mà n,n+1,n+2 ;a 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chẵn chia hết cho 2 =>n*(n+1)*(n+2) chia hết cho 2 n,n+1,n+2 cũng sẽ có 1 số chia hết cho 3 =>n*(+1)*(n+2) chia hết cho 3 Mà (2,3)=1=> n*(n+1)*(n+2) chia hết cho 2*3 Lúc đó n^3+3n^2+2n

\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)

\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)

Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)