a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM\(\sim\)ΔACN

b: Xét ΔHNB vuông tại N và ΔHMC vuông tại M có 

\(\widehat{NHB}=\widehat{MHC}\)

Do đó: ΔHNB\(\sim\)ΔHMC

Suy ra: HN/HM=HB/HC

hay \(HN\cdot HC=HB\cdot HM\)

a, Xét ΔABM và ΔACN có 

\(\widehat{N}=\widehat{M}=90^0\)

\(\widehat{A}:chung\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ACN\left(g-g\right)\)

b, Xét ΔNHB và ΔMHC có :

\(\widehat{N}=\widehat{M}=90^0\)

\(\widehat{NHB}=\widehat{MHC}\left(đối\cdotđỉnh\right)\)

\(\Rightarrow\Delta NHB\sim\Delta MHC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HN}{HM}\)

\(\Rightarrow HB.HM=HC.HN\left(đpcm\right)\)

a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔACN

=>AM/AN=AB/AC

=>AM*AC=AN*AB và AM/AB=AN/AC

b: Xét ΔAMN và ΔABC có

AM/AB=AN/AC

góc MAN chung

=>ΔAMN đòng dạng với ΔABC

c: ΔAMN đồng dạng với ΔABC

=>S AMN/S ABC=(AM/AB)^2=(cos60)^2=1/4

=>S ABC=4*S AMN

a: Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có

AB=AC
góc BAM chung

=>ΔAMB=ΔAMC

=>góc ABM=góc ACN

b: góc ABM+góc HBC=góc ABC

góc ACN+góc HCB=góc ACB

mà góc ABM=góc ACN và góc ABC=góc ACB

nên góc HBC=góc HCB

=>HB=HC

c: Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC

nên NM//BC

NM//BC

=>góc HMN=góc HBC; góc HNM=góc HCB

mà góc HBC=góc HCB

nên góc HMN=góc HNM

góc EMN=góc MNC

góc MNC=góc HMB

=>góc EMN=góc HMB

=>MN là phân giác của góc EMB

a: Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có AB=AC

góc BAM chung

=>ΔAMB=ΔAMC

=>góc ABM=góc ACN

b: góc ABM+góc HBC=góc ABC

góc ACN+góc HCB=góc ACB

mà góc ABM=góc ACN và góc ABC=góc ACB

nên góc HBC=góc HCB

=>HB=HC

c: Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC nên NM//BC NM//BC

=>góc HMN=góc HBC; góc HNM=góc HCB mà góc HBC=góc HCB nên:

góc HMN=góc HNM; góc EMN=góc MNC; góc MNC=góc HMB

=>góc EMN=góc HMB

=>MN là phân giác của góc EMB

a: Xét ΔABC có

BM là đường cao

CN là đường cao

BM cắt CN tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

b: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

c: Xét tứ giác BCMN có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)

nên BCMN là tứ giác nội tiếp

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) = 90^o

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90^o (H \(\in\) BM; H \(\in\) CN do BM \(\cap\) CN tại H)

Xét tứ giác ANHM có: \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\)

\(\widehat{AMH}\) và \(\widehat{ANH}\) là 2 góc đối nhau (gt)

\(\Rightarrow\) ANHM là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BNC}=\widehat{CMB}\) = 90^o

Mà \(\widehat{BNC}\) và \(\widehat{CMB}\) đều nhìn cạnh BC với một góc 90^o (cmt)

\(\Rightarrow\) BNMC là tứ giác nột tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Chúc bn học tốt!

Gọi O là trung điểm của AH

Ta có: ΔANH vuông tại N(HN⊥AB tại N)

mà NO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(NO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔAMH vuông tại M(HM⊥AC tại M)

mà MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(MO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Ta có: O là trung điểm của AH(cmt)

nên \(AO=OH=\dfrac{AH}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OA=ON=OM=OH

⇔A,H,M,N∈(O)

hay tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn(O)

Gọi D là trung điểm của BC

Ta có: ΔCBN vuông tại N(CN⊥AB tại N)

mà ND là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(ND=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(4)

Ta có: ΔMBC vuông tại M(MB⊥AC tại M)

mà MD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(MD=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(5)

Ta có: D là trung điểm của BC(theo cách gọi)

nên \(BD=DC=\dfrac{BC}{2}\)(6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra DB=DC=DN=DM

⇔B,C,N,M∈(D)

hay tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn(D)(đpcm)

AH cắt BC tại P.

-Xét △ABC có: 

BM, CN lần lượt là các đường cao (gt).

BM và CN cắt nhau tại H.

\(\Rightarrow\) H là trực tâm của △ABC.

\(\Rightarrow\) AH là đường cao của △ABC.

Mà AH cắt BC tại P (gt).

\(\Rightarrow\) AH⊥BC tại P.

-Xét △BHP và △BCM có:

\(\widehat{CBM}\) là góc chung.

\(\widehat{BPH}=\widehat{BMC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△BHP ∼ △BCM (g-g).

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BP}{BM}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

\(\Rightarrow BH.BM=BP.BC\) (1)

-Xét △CHP và △CBN có:

\(\widehat{BCN}\) là góc chung.

\(\widehat{CPH}=\widehat{CNB}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△CHP ∼ △CBN (g-g).

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CP}{CN}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

\(\Rightarrow CH.CN=CP.CB\) (2)

-Từ (1), (2) suy ra:

\(BH.BM+CH.CN=BP.BC+CP.BC=BC\left(BP+CP\right)=BC.BC=BC^2\)

Cả 3 bài này đều sử dụng định lí Pascal

B1: Với các điểm: NAMCIB cùng thuộc đường tròn (O)

NC cắt BM tại H; NI cắt AB  tại P ; MI cắt AC tại Q 

=> P; H ; Q thẳng hàng

B2: Xét các điểm ADCIBE  cùng thuộc đường tròn (O)

B3: Tương tự.