A =  7 + 7² + 7³ + .........+ 7^n-1 + 7ⁿ

     7A =        7²  + 7³ +..........+ 7^n-1 + 7ⁿ + 7^n-1

7A - A =       7ⁿ⁺¹ - 7 

      6A =     ( 7ⁿ⁺¹ - 7) 

        A =      (7ⁿ⁺¹ - 7) : 6

.

3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

= ( 3ⁿ⁺²+3ⁿ)-(2ⁿ⁺²+2ⁿ)

= 3ⁿ(3²+1)-2ⁿ(2²+1)

= 3ⁿ.10-2^n-1.10=10(3ⁿ-2^n-1) chia het cho 10

b) 7ⁿ⁺⁴-7ⁿ=7ⁿ(7⁴-1)=7ⁿ.2400

Do 2400 chia hết cho 30=>7ⁿ.2400 chia hết cho 30

Vậy 7ⁿ⁺⁴-7ⁿ chia hết cho 30 với mọi n thộc N

c) 6²ⁿ+3ⁿ⁺²+3ⁿ=2²ⁿ.3ⁿ+3ⁿ(3²+1)

=2²ⁿ.3²ⁿ+3ⁿ.11 chia het cho 11

đ) câu hỏi tương tự nhé

l-i-k-e mình nhé

 Mình làm đc mỗi 1 câu, Thông cảm

7^6+7^5+7^4 chia hết cho 11

= 7^4.2^2+7^4.7+7^4

= 7^4.(2^2+7+1)

= 7^4. 11

Vì tích này có số 11 nên => chia hết cho 7

tìm hai số x và y biết x:2=y:(-5) và x-y=-7

tìm hai số x;y.Biết 7x=3y và x-y=16

tìm ba số x,y,z.Biết 2a=4b và 3b=5c và a+2b-3c=99

6/ \(\frac{2n-4}{n}=\frac{2n}{n}-\frac{4}{n}\) \(=2-\frac{4}{n}\)

Để 2n - 4 chia hết cho n thì 4 chia hết cho n

\(\Rightarrow\) n = 1; n = 2; n = 4

7/ \(\frac{35+12n}{n}=\frac{35}{n}+\frac{12n}{n}=\frac{35}{n}+12\)

Để 35 + 12n chia hết cho n thì 35 chia hết cho n

\(\Rightarrow\) n = 1; n = 5; n = 7; n = 35

1/ Để 7 \(⋮\) n (n \(\in N\)) thì n = 1; n = 7

2/ Để 7 \(⋮\) \(\left(n-1\right)\) thì \(n-1=1;n-1=-1;n-1=7;n-1=-7\)

*) \(n-1=1\)

n = 1 + 1

n = 2 (thỏa mãn n là số tự nhiên)

*) \(n-1=-1\)

\(n=-1+1\)

n = 0 (thỏa mãn n là số tự nhiên)

*) \(n-1=7\)

n = 7 + 1

n = 8 (thỏa mãn n là số tự nhiên)

*) \(n-1=-7\)

\(n=-7+1\)

\(n=-6\) (không thỏa mãn n là số tự nhiên)

Vậy n = 8; n = 2; n = 0

Lời giải:
$S=\frac{4-1}{1.4}+\frac{7-4}{4.7}+\frac{10-7}{7.10}+...+\frac{(n+3)-n}{n(n+3)}$

$=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$

$=1-\frac{1}{n+3}<1$

Vì n+3 chia hết cho n+7 và n+7 chia hết cho 3

=> n+7=1 ; n+3=1

n+7=1

=> n=-6

n+3=1

=>n=-2

Vì n+3 chia hết cho n+7 và n+7 chia hết cho 3

=> n+7=1 ; n+3=1

n+7=1

=> n=-6

n+3=1

=>n=-2

1) Đặt A = n⁶ - 1 = ( n³ - 1)( n³ + 1) = ( n - 1)( n² + n + 1)( n +1)(n² - n + 1)

Nếu n không chia hết cho 7 thì:

Xét nếu n = 7k + 1 thì n - 1 = 7k + 1 - 1 = 7k chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

Nếu n = 7k + 2 thì n² + n + 1 = (7k + 2)² + 7k + 2 + 1 = 7(7k² +3k+1) chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

Tương tự đến trường hợp n = 7k + 6

=> Nếu n không chia hết cho 7 thì n⁶ - 1 chia hết cho 7

Mà n⁶ - 1 = (n³ - 1)(n³ + 1)

Do đó: n³ - 1 chia hết cho 7 hoặc n³ - 1 chia hết cho 7

3) n(n + 1)(2n + 1)

= n(n + 1)[(n + 2) + (n - 1)]

= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1)

Vì n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp

Nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6 (1)

Vì n(n + 1)(n - 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

Nên n(n + 1)(n - 1) chia hết cho 6 (2)

Từ (1), (2) => Đpcm

2)Đề sai. Sửa:

\(n\left(n^2-1\right)\left(3n+6\right)\)\(=3n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Theo nguyên lí Dirichle, chắc chắn có 1 số chia hết cho 4.

\(\Rightarrow3n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3⋮4=12\)

Vậy ....