nhân ra xong chuyển vế mà làm

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(\text{ax}+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\), luôn đúng 

ây za gặp anti fan nào tk sai 3 cái lun z tr :D

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\Leftrightarrow a^2x^2+b^2c^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng!

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh

Sửa đề:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)

Xét hiệu:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz\)

\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+b^2x^2+c^2y^2+c^2x^2-2axby-2bycz-2axcz\)

\(=\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)\)

\(=\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)

=> BĐT luôn đúng

\((a^2 +b^2).(x^2 +y^2) \ge (ax+by)^2\) 
dấu " = " xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\) 
Vì \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} \Rightarrow ay=bx\)
\((a^2 +b^2).( x^2 +y^2)= a^2.x^2 +a^2.y^2 +b^2.x^2 + b^2.y^2 \)
\(= a^2.x^2 + b^2.x^2 +b^2.x^2 +b^2.y^2 \)
\(= (ax)^2 +2.b^2.x^2 + (by)^2 \)
\(= (ax)^2 +2.ax.by + (by)^2\) (tách \(b^2.x^2= b.x.b.x = a.y.b.x= ax.by\)) 
\(= (ax+by)^2 \)

=> đpcm

(a2+b2).(x2+y2)≥(ax+by)2(a2+b2).(x2+y2)≥(ax+by)2
dấu " = " xảy ra khi ax=byax=by
Vì ax=by⇒ay=bxax=by⇒ay=bx
(a2+b2).(x2+y2)=a2.x2+a2.y2+b2.x2+b2.y2(a2+b2).(x2+y2)=a2.x2+a2.y2+b2.x2+b2.y2
=a2.x2+b2.x2+b2.x2+b2.y2=a2.x2+b2.x2+b2.x2+b2.y2
=(ax)2+2.b2.x2+(by)2=(ax)2+2.b2.x2+(by)2
=(ax)2+2.ax.by+(by)2=(ax)2+2.ax.by+(by)2 (tách b2.x2=b.x.b.x=a.y.b.x=ax.byb2.x2=b.x.b.x=a.y.b.x=ax.by)
=(ax+by)2

App giải toán không cần nhập đề chỉ cần chụp ảnh cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

\(a,\left(a^2-b^2\right)^2+4\left(ab\right)^2=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2\\ =a^4+2a^2b^2+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2\\ b,\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\\ =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\\ \left(ax+by\right)^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\\ \Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ne\left(ax+by\right)^2\)

Hoặc áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Ta có : \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2axby\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2-2.ay.bx+\left(bx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\Leftrightarrow ay-bx=0\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.