a:

Sửa đề: \(I\left(\dfrac{1}{2};-3\right)\)

Thay \(x=\dfrac{1}{2};y=-3\) vào (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\), ta được:

\(\left(1-2m\right)\cdot\dfrac{1}{2}+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-m+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>-3=-3(đúng)

vậy: I(1/2;-3) là điểm cố định mà (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\) luôn đi qua

b: \(\left(d\right):y=\left(2m+1\right)x+m-2\)

\(=2mx+x+m-2\)

\(=m\left(2x+1\right)+x-2\)

Điểm mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=0\\y=x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Gọi điểm cố định mà đường thẳng :

(d) có phương trình y = (m² + m) x - 2m² - 2m đi qua  là điểm A ( x_0;y₀)

Vì điểm A thuộc đường thẳng (d) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d) ta có :

(m² + m) x₀ - 2m² - 2m =  y₀

m².x₀ + mx₀ - 2m² - 2m = y₀

(m²x₀ - 2m²) + ( mx₀ - 2m) = y₀

m²(x₀ - 2) + m(x₀ - 2) = y₀

(m² + m)( x₀ - 2) = y₀ (1)

Pt(1) luôn đúng với \(\forall\) m \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=0\\y_0=0\end{matrix}\right.\)

                                       \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=0\end{matrix}\right.\)

                                       \(\Rightarrow\) A( 2;0)

Kết luận : Vậy điểm cố định mà đường thẳng y =  (m² +m) x - 2m² - 2m đi qua là điểm A(2;0)

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đt đi qua với mọi m

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m+3\right)x_0-2m-1\\ \Leftrightarrow mx_0+3x_0-2m-1-y_0=0\\ \Leftrightarrow m\left(x_0-2\right)+3x_0-y_0-1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=0\\3x_0-y_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(2;5\right)\)

Vậy \(A\left(2;5\right)\) là điểm cố định mà đt đi qua với mọi m

a) giả sử đường thẳng trên đi qua điểm cố định A ( x₀ ; y₀ )

\(\Rightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+3\) với mọi m

\(\Leftrightarrow x_0m-\left(y_0+2x_0-3\right)=0\)với mọi m

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=0\\y_0+2x_0-3=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=0\\y_0=3\end{cases}}}\)

Vậy điểm cố định là ( 0 ; 3 )

tương tự : b) ( -1 ; 2 )

c) ( -2 ; 1 )

Sửa đề: \(y=\left(1+m\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2+\left(-2m+2\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2-2mx+2x+m-3\)

\(=m\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x-3\)

\(=m\left(x-1\right)^2+x^2+2x-3\)

Tọa độ điểm mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2-3=0\end{matrix}\right.\)

(P): \(y=\left(1+m\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2-2mx+2x+m-3\)

\(=m\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x-3\)

\(=m\left(x-1\right)^2+x^2+2x-3\)

Tọa độ điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2-3=0\end{matrix}\right.\)