Chỗ cuối kia phải là +2 chứ bạn ??!

1) Bất đẳng thức cần chứng minh

\(\Leftrightarrow\) a² + b² + c² + d² + \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)

Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng

Nếu : ac + bd \(\ge\) 0 : Thì (1) tương đương

( ac + bd )² \(\le\) ( a² + b² )( c² + d² )

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad-bc\right)^2\ge0\) , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh

2) Chọn :\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)

Từ câu 1) ta có :

\(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\)

\(\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2\)

\(9x^2-6x+2=9x^2-6x+1+1=\left(3x-1\right)^2+1>0\Rightarrowđpcm\)

\(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\left(đpcm\right)\)

\(25x^2-20x+7=25x^2-20x+4+3=\left(5x-2\right)^2+3>0\left(đpcm\right)\)

\(9x^2-6xy+2y^2+1=\left(9x^2+6xy+y^2\right)+y^2+1=\left(3x+y\right)^2+y^2+1>0\left(đpcm\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge xy;x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2\left|xy\right|\ge\left|xy\right|\ge xy\Rightarrowđpcm\)

Cách khác câu e:

\(x^2-xy+y^2=x^2-2x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\ge0\forall xy\) (đpcm)

a) \(x+2y+\left(x-y\right)\)

\(=x+2y+x-y\)

\(=2x+y\)

b) \(2x+y-\left(3x-5y\right)\)

\(=2x+y-3x+5y\)

\(=-x+6y\)

c) \(3x^2-4y^2+6xy+7+\left(-x^2+y^2-8xy+9x+1\right)\)

\(=3x^2-4y^2+6xy+7-x^2+y^2-8xy+9x+1\)

\(=2x^2-3y^2-2xy+9x+8\)

d) \(4x^2y-2xy^2+8-\left(3x^2y+9xy^2-12xy+6\right)\)

\(=4x^2y-2xy^2+8-3x^2y-9xy^2+12xy-6\)

\(=x^2y-11xy^2+2+12xy\)

Bạn xem lại đề bài:

Giải thích:

Nếu x = 1/3 và y = 1

Ta có: 

 P ( 1/3, 1 ) = (\(9.\left(\frac{1}{3}\right)^2.1^2+1^2-6.1.\frac{1}{3}-2+1=-1< 0\)

bạn giải thích cách làm của bạn giúp tớ được không ???

Nghĩa là đề của bạn bị sai.

Bởi vì nếu thay giá trị x = 1/3 và y = 1 vào sẽ không thỏa mãn.

Gt\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x^2+2}+y-1+\sqrt{y^2-2y+3}=0\) (*)

\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right).-2=2\left(y-1-\sqrt{y^2+2y+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow y-1-\sqrt{y^2+2y+3}+x+\sqrt{x^2+2}=0\) (2*)

Cộng vế với vế của (*) và (2*) => \(2x+2y-2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1\)

Ta có:`(x+sqrt{x^2+2})(sqrt{x^2+2}-x)=2`

`<=>sqrt{x^2+2}-x=y-1+sqrt{y^2-2y+3}`

`<=>sqrt{x^2+2}-sqrt{y^2-2y+3}=x+y-1(1)`

CMTT:`sqrt{y^2-2y+3}-(y-1)=x+sqrt{x^2+2}`

`<=>sqrt{y^2-2y+3}-y+1=x+sqrt{x^2+2}`

`<=>sqrt{y^2-2y+3}-sqrt{x^2+2}=x+y-1(2)`

Cộng từng vế (1)(2) ta có:

`2(x+y-1)=0`

`<=>x+y-1=0`

`<=>x+y=1`

`<=>(x+y)^3=1`

`<=>x^3+y^3+3xy(x+y)=1`

`<=>x^3+y^3+3xy=1`(do `x+y=1`)

a) 

Đặt \(A=9x^2-6x+2\)

\(=\left(3x\right)^2-2.3x+1+1\)

\(=\left(3x+1\right)^2+1\)

Ta có: \(\left(3x+1\right)^2\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left(3x+1\right)^2+1\ge0+1;\forall x\)

Hay \(A\ge1>0;\forall x\)

Các phần khác tương tự cứ việc biến đổi thành hằng đẳng thức

\(a,9x^2-6x+2\)

\(=\left(3x\right)^2-2.3x.1+1^2+1\)

\(=\left(3x-1\right)^2+1\)

Vì\(\left(3x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(3x-1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

\(\Rightarrow9x^2-6x+2>0\forall x\)

\(b,x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+x+1>0\forall x\)

À xin lỗi sửa sai chút là \(\left(3x-1\right)^2\)nhé 

\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\left(1\right)\)

*) Xét \(x=y=0\) thì \(\left(1\right)\) luôn đúng

*) Xét \(x,y>0\) ta có: \(VT=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)

\(\Rightarrow VT=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)

Lại có: \(VP=x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra BĐT được chứng minh

Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\)

x³+y³\(\geq\) x²y + xy², \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0

Xét x=0,y=0 thì bất đẳng thức này luôn đúng.(*)

Xét x>0,y>0,ta có CM bất đẳng thức đó luôn đúng

x³+y³\(\geq\) x²y+xy²

\(\Leftrightarrow\) x³+y³-x²y-xy²\(\geq\)0

\(\Leftrightarrow\) (x³-x²y) + (y³-xy²) \(\geq\)0

\(\Leftrightarrow\) x²(x-y) - y²(x-y) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x²-y²) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x-y)(x+y) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)²(x+y) \(\geq\) 0 (1)

Ta có (x-y)²\(\geq\)0, x+y >0(vì x>0,y>0)

Nên bất phương trình (1); (x-y)²(x+y) \(\geq\) 0(luôn đúng)(**)

Từ(*) và (**) suy ra BĐT được chứng minh:

x³+y³\(\geq\) x²y+xy², \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y.