Đáp án đúng là: D

Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 3 và u_n = \(\frac{1}{3}\).u_n-1 với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và q = \(\frac{1}{3}\).

Đặt \(\dfrac{u_n}{n+1}=v_n\)

\(GT\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{u_1}{1+1}=1\\v_{n+1}=\dfrac{1}{4}v_n,\forall n\in N\text{*}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{4}^{n-1},\forall n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow u_n=\left(n+1\right).\dfrac{1}{4}^{n-1},\forall n\in N\text{*}\)

\(\left(n+1\right)u_{n+1}=\dfrac{1}{2}nu_n+n+2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}-2\left(n+1\right)=\dfrac{1}{2}\left[nu_n-2n\right]\)

Đặt \(n.u_n-2n=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=-1\\v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n=-1.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\Rightarrow n.u_n-2n=-\dfrac{1}{2^{n-1}}\)

\(\Rightarrow u_n=2-\dfrac{1}{n.2^{n-1}}\)

A. Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{u_n^2}}{{{u_n}}} = {u_n}\) phụ thuộc vào n nên (\({u_n})\) thay đổi, do đó\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải cấp số nhân.

B. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{{u_n}}}}= 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).

C. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} = 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = 2\) .

D. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} =  - 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = -2\).

Vậy ta chọn đáp án B.

a) 5 số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 6; 24; 120.

b) \({F_1} = 1,\;{F_2} = 1,\;{F_3} = 2,\;{F_4} = 3,\;{F_5} = 5\;\).

a) Ta có: \({u_1} = 6,\;\;\;\;{u_2} = 12,\;\;\;\;\;{u_3} = 24,\;\;\;\;\;{u_4} = 48,\;\;\;\;\;{u_5} = 96\).

b) Hệ thức truy hồi liên hệ giữa \({u_n}\) và \({u_{n - 1}}\) là: \({u_n} = 2{u_{n - 1}}\).

Đặt \(u_n+\dfrac{5}{4}=v_n\)

\(GT\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{9}{4};v_2=\dfrac{13}{4}\\v_{n+2}=2v_{n+1}+3v_n\end{matrix}\right.\)

Ta có CTTQ của dãy \(\left(v_n\right)\) là:

\(v_n=\dfrac{11}{24}.3^n-\dfrac{7}{8}.\left(-1\right)^n\)

(Bạn tự chứng minh theo quy nạp)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{11}{24}.3^n-\dfrac{7}{8}\left(-1\right)^n-\dfrac{5}{4}\) với \(\forall n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow S=2\left(u_1+u_2+...+u_{100}\right)+u_{101}\)

\(=\left[\dfrac{11}{12}\left(3^1+3^2+...+3^{100}\right)-\dfrac{7}{4}\left(-1+1-...+1\right)-\dfrac{5}{2}.100\right]+\dfrac{11}{24}.3^{101}-\dfrac{7}{8}.\left(-1\right)^{101}-\dfrac{5}{4}\)

\(=\dfrac{11}{12}.\dfrac{3^{101}-3}{2}-250+\dfrac{11}{24}.3^{101}+\dfrac{7}{8}\)

\(=\dfrac{11}{24}.\left(2.3^{101}-3\right)-\dfrac{1993}{8}\)

\(=\dfrac{11}{4}.3^{100}-\dfrac{501}{2}\)

2:

a: \(u_1=\dfrac{2-1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)

\(u_2=\dfrac{2\cdot2-1}{2+1}=1\)

\(u_3=\dfrac{2\cdot3-1}{3+1}=\dfrac{5}{4}\)

\(u_4=\dfrac{2\cdot4-1}{4+1}=\dfrac{7}{5}\)

b: Đặt \(\dfrac{2n-1}{n+1}=\dfrac{13}{7}\)

=>7(2n-1)=13(n+1)

=>14n-7=13n+13

=>n=20

=>13/7 là số hạng thứ 20 trong dãy

1:

a: u1=1^2-1=0

u2=2^2-1=3

u3=3^2-1=8

u4=4^2-1=15

b: 99=n^2-1

=>n^2=100

mà n>=0

nên n=10

=>99 là số thứ 10 trong dãy