Giả sử \(BH\perp AD\)

Gọi  \(O=AC\cap BD\)

Có \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AC.BD=BH.AD\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC.BD=2S_{ABCD}\\BH=\dfrac{S_{ABCD}}{AD}\end{matrix}\right.\)

Có \(\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BD^2}=\dfrac{AC^2+BD^2}{AC^2.BD^2}=\dfrac{4\left(OA^2+OD^2\right)}{\left(2S_{ABCD}\right)^2}\)\(=\dfrac{4AD^2}{4S_{ABCD}}=\dfrac{1}{BH^2}\) 

Vậy \(\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BD^2}\)

Bài 1: 
Xét ΔABC và ΔBAD có 

AB chung

BC=AD

AC=BD

Do đó:ΔABC=ΔBAD

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{ABD}\)

hay \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

hay ΔEAB cân tại E

Bài 1: 

Xét ΔABC và ΔBAD có 

AB chung

BC=AD

AC=BD

Do đó: ΔABC=ΔBAD

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{ABD}\)

hay \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

hay ΔEAB cân tại E

1.

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

Áp dụng HTL tam giác 

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=BH\cdot HC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=1,8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=3,2\left(cm\right)\\AH=\sqrt{3,2\cdot1,8}=5,76\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

2.

Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=BH\cdot HC=HC\\AB^2=BH\cdot BC=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HC=4\left(cm\right)\\AB=\sqrt{HC+HB}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-5}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Vậy \(AB=\sqrt{5}\left(cm\right);BC=5\left(cm\right);AC=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

AB=21/(3+4)x3=9 cm

AC=21-9=12cm

Tự kẻ hình bạn nhé =)))

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác ABC , có

AB^2+AC^2=BC^2

=>thay số vào, tính được BC=15cm

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tg vuông, có:

AB^2=BHxBC

=>BH=81/15=5.4cm

=>CH=15-5.4=9.6cm

AH^2=BHxCH=5.4x9.6=51.84cm

Sơ lượt cách giải:

Dựng tam giác đều ABE sao cho điểm E  nằm phía với điểm C đối với đường thẳng AB.

Vì góc BAC = 75⁰ > góc BAE =60⁰ nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC.

Gọi K là trung điểm của AC suy ra AK = KC =BH (gt)

Vì góc BAC = 75 độ nên góc KAE = góc HBA = 15 độ.

Suy ra tam giác HAB = tam giác KEA (c-g-c)

Suy ra góc K = góc H =90 độ

Suy ra tam giác AEC cân tại E, suy ra  góc ACE = 15 độ. Suy ra góc AEC = 150 độ.

Suy ra góc BEC = 150 độ (Vì = 360 độ - góc AEC -góc AEB =360 -150-60)

Suy ra tam giác AEC = tam giác BEC (c-g -c)

Suy ra góc BCE  =15 độ suy ra góc ACB = 30 độ

Suy ra góc ABC = 75 độ suy ra tam giác ABC cân tại C suy ra AC = BC

Bài 3: 

a: Xét ΔHAB có

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AB và MN=AB/2

=>MN//KC và MN=KC

=>NCKM là hình bình hành

b; Xét ΔBMC có

BH là đường cao

MN là đường cao

BH cắt MN tại N

DO đó:N là trực tâm

=>CN vuông góc với BM

=>BM vuông góc với MK

hay góc BMK=90 độ