Ta có: (a+b+c)^2 + a^2 + b^2 + c^2

= a^2 +b^2 +c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + a^2 + b^2 + c^2

= (a^2 +2ab+ b^2) + (b^2 +2bc+ c^2) +(c^2 +2ac+ a^2 )

= (a+b)^2 +(b+c)^2 +(c+a)^2

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)+a^2+b^2+c^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)

\(=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)

Vì a,b là các số chẵn nên a,b viết được dưới dạng là a=2m và b=2n(Với m,n∈Z)

Ta có: \(a^2+b^2\)

\(=\left(2m\right)^2+\left(2n\right)^2\)

\(=4m^2+4n^2\)

\(=4\left(m^2+n^2\right)\)

\(=2\left(2m^2+2n^2\right)\)

\(=\left(m^2+n^2+1-m^2-n^2+1\right)\cdot\left(m^2+n^2+1+m^2+n^2-1\right)\)

\(=\left(m^2+n^2+1\right)^2-\left(m^2+n^2-1\right)^2\)

là bình phương của hai số nguyên(đpcm)

2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)

=2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ab-2ac

=a^2-2ac+c^2+a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2

=(a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

Ta có 

+) Nếu  thì 

Ta có : 

+ Nếu  làm tương tự

\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2\)

\(=a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ca+a^2\)

\(=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)