a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

Lời giải:
Gọi $d$ là ƯCLN $(2^{2024}+3, 2^{2023}+1)$

Ta có:

$2^{2024}+3\vdots d$

$2^{2023}+1\vdots d$

$\Rightarrow 2^{2024}+3-2(2^{2023}+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \frac{2^{2024+3}{2^{2023}+1}$ là ps tối giản.

a. Q ^ 1 = 60 ° ( kề bù với Q ^ 4 ) mà Q 1 ^  đồng vị với  M ^ = 60 ° => a//b

b. Vì a//b  N 4 ^ = P ^ 4 = 30 °  ( đồng vị) ⇒ N ^ 1 = N ^ 3 = 150 ° ⇒ N ^ 4 = N ^ 2 = 130 °

Lời giải:
Gọi $d$ là ƯCLN $(2^{2024}+3, 2^{2023}+1)$

Ta có:

$2^{2024}+3\vdots d$

$2^{2023}+1\vdots d$

$\Rightarrow 2^{2024}+3-2(2^{2023}+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \frac{2^{2024+3}{2^{2023}+1}$ là ps tối giản.

Gọi d là ƯCLN ( 12n+1; 30n+2 )

=> 12n + 1 ⋮ d => 5.( 12n + 1 ) ⋮ d => 60n + 5 ⋮ d ( 1 )

=> 30n + 2 ⋮ d => 2.( 30n + 2 ) ⋮ d => 60n + 4 ⋮ d ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => [ ( 60n + 5 ) - ( 60n + 4 ) ] ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯCLN ( 12n + 1 ; 30n + 2 ) = 1 nên 12n+1/30n+2 là p/s tối giản 

Gọi d là ước chung của 12n+1 và 30n+2 ta có:

5.(12n+1)-2.(30n+2)=60n+5-60n-4=1 chia hết cho d

Vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản