ta thấy : \(T=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+....+\frac{1}{98.99}+\frac{1}{99.100}\)  và T > 0 

mà  \(\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+....+\frac{1}{98.99}+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+....+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{3}-\frac{1}{100}=\frac{97}{300}\) 

=> \(0< T< \frac{97}{300}\)  

Chứng tỏ tổng T không phải là một số tự nhiên ! ... 

a: B=1-1/2+1/2-1/3+...+1/2020-1/2021

=1-1/2021=2020/2021

b:

1/2^2+1/3^2+...+1/2021^2>0

=>A>1

1/2^2+1/3^2+...+1/2021^2<1-1/2+1/2-1/3+...+1/2020-1/2021=2020/2021

=>A<2020/2021+1

mà A>1

nên 1<A<1+2020/2021

=>A ko là số nguyên

Mình tự làm tận 1h nên hơi dài 1 tí nhưng chắc chắn đúng đó :))

Ta có: x² + y² + xy .- 3x - 3y + 3 = 0

     =>( x² - 2x + 1) - x + ( y² - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0

     => (x-1)² + (y-1)² + ( -x + -y + xy +1) = 0

     => (x-1)² + (y-1)²  + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0

    => (x-1)² + (y-1)² + [ x(y-1) - (y-1)] = 0

    => (x-1)² + (y-1)² + (x-1)(y-1) = 0

    => (x-1)² +  2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)².(y-1)² + 3/4.(y-1)² = 0

    => [x-1+1/2(y-1) ]² + 3/4.(y-1)²  = 0

   Vì: [x-1+1/2(y-1) ]²  >= 0 với mọi x;y thuộc R

         3/4.(y-1)^{2 >= 0 với mọi y thuộc R}

     => (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)

     => (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)

      => x = y =1

Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.

Xét 3 số tự nhiên liên tiếp \(2020^{2021}-1;2020^{2021};2020^{2022}\) luôn có 1 số chia hết cho 3

Mà \(2020\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2020^{2021}\equiv1\left(mod3\right)\)

Khi đó một trong 2 số \(2020^{2021}-1;2020^{2021}+1\) chia hết cho 3

=> đpcm

Ta có : \(\frac{1}{4^2}>\frac{1}{4.5}\)

             \(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6}\)

              \(\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7}\)

               ...

              \(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)

\(\Rightarrow T>\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}\)

\(T>\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(T>\frac{1}{4}-\frac{1}{101}=\frac{97}{404}>0\)  (1)

Ta lại có : \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

                 \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5}\)

                  \(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6}\)

                    ...

                  \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow T< \frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(T< \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(T< \frac{1}{3}-\frac{1}{100}=\frac{97}{300}< 1\)  (2)

Từ (1), (2)

\(\Rightarrow T\notinℕ\)

Vậy \(T\notinℕ\).

Bổ sung dòng thứ 3 đếm từ dưới lên : \(\Rightarrow0< T< 1\)

Đặt A=1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/100^2

       A=1+1/2^2+1/3^2+...+1/100^2>1(1)

      A<1+1/1*2+1/2*3+...+1/99*100

      A<1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100

     A<2-1/100<2

=>A<2(2)

Từ (1) và (2)=>1<A<2

Nên A không thể là số nguyên

Đặt S= 1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/100^2

Ta có:1/2²<1/1x2

          1/3²<1/2x3

           . . .

          1/99²<1/89x99

          1/100²<1/99x100

=> S<1/1x2+1/2x3+1/3x4+1/4x5+...+1/89x99+1/99x100

=> S<1-1/2+1/2-1/3+...+1/89-1/99+1/99-1/100

=> S<1-1/100

=> S<99/100

       Mà 99/100<1

Vậy S không phải số nguyên.