Bài 2: 

Ta có: \(P=\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}-\dfrac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\dfrac{15\sqrt{x}-11-3x-9\sqrt{x}+2\sqrt{x}+6-2x+2\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-5\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\)

Câu 1:

a) ĐKXĐ: \(x>0;x\ne9\)

Với x=36 (thỏa mãn ĐKXĐ) thì A có giá trị :

\(A=\dfrac{\sqrt{36}+2}{1+\sqrt{36}}=\dfrac{6+2}{1+6}=\dfrac{8}{7}\)

b) Ta có: 

\(B=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}-6}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=\dfrac{x+4\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\)

c) Ta có:

\(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}=1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)

Vì x là số nguyên lớn hơn 0 nên 

\(x\ge1\Rightarrow\sqrt{x}\ge1\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge2>0\Rightarrow P\le1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi x=1;

Gọi số sản phẩm dự định của xí nghiệp A và B lần lượt là x,y \(\left(x,y\in N;0< x,y< 720\right)\)

Vì tổng sản phẩm dự định là 720 nên ta có phương trình: \(x+y=720\left(1\right)\)

Vì thực tế , xí nghiệp A hoàn thành vượt mức 12% nên số sản phẩm xí nghiệp A thực tế là : \(112\%x=\dfrac{28}{25}x\)

Xí nghiệp B hoàn thành vượt mức 10% nên số sản phẩm xí nghiệp B thực tế là : \(110\%y=\dfrac{11}{10}y\)

Vì tổng số sản phẩm thực tế là 800 nên ta có phương trình: \(\dfrac{28}{25}x+\dfrac{11}{10}y=800\Leftrightarrow56x+55y=40000\left(2\right)\)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=720\\56x+55y=40000\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=720\\55\cdot720+x=40000\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=400\\y=320\end{matrix}\right.\left(t.m\right)\)

Vậy số sản phẩm 2 xí nghiệp làm theo kế hoạch lần lượt là 400 và 320 sản phẩm

1) Ta có phương trình:

\(3x^4-2x^2-40=0\Leftrightarrow\left(3x^4-12x^2\right)+\left(10x^2-40\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(3x^2+10\right)=0\)

Mà \(3x^2+10\ge10>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2\)

Vậy \(S=\left\{\pm2\right\}\) là tập nghiệm của phương trình

2)

Xét phương trình bậc 2 ẩn x :

\(x^2+\left(m-1\right)x-m^2-2=0\left(1\right)\)

Có hệ số: \(a=1;b=m-1;c=-m^2-2\)

\(\Rightarrow ac=-m^2-2\le-2< 0\)

Suy ra (1) có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) với mọi m thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=-m^2-2\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Đặt \(\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3=-a\left(a>0\right)\Rightarrow\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3=-\dfrac{1}{a}\) (do x₁,x₂ là 2 số trái dấu)

\(\Rightarrow T=-\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(a\) và \(\dfrac{1}{a}\) ta có:

\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2\)

\(\Rightarrow T\le-2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a=1\left(a>0\right)\Leftrightarrow x_1=-x_2\)

(2) trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}m-1=0\\x_1^2=m^2+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\x_1^2=3\left(t.m\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất là -2 tại m=1

Tiếp bạn Thịnh 

1c)

Ta có:

\(S=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow S\le1+\dfrac{1}{1+2}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=0

Câu 2:

a) Để hưởng ứng phong trào phòng chống dịch COVID-19, một chi đoàn thanh niên dự định làm 600 chiếc mũ ngăn giọt bắn trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động mỗi giờ chi đoàn đó làm được nhiều hơn so với kế hoạch là 30 chiếc nên công việc được hoàn thành sớm hơn quy định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch 1 giờ chi đoàn đó phải làm bao nhiêu chiếc mũ ngăn giọt bắn?

Giải : Gọi số chiếc mũ làm 1 h theo dự định là x (x là số tự nhiên khác 0 )

Vì có tất cả 600 chiếc nên làm trong 600/x giờ

Vì mỗi giờ chi đoàn đó làm được nhiều hơn so với kế hoạch là 30 chiếc (x+30 chiếc) nên công việc được hoàn thành trong 600/30+x.

Vì làm sớm hơn 1  h nên ta có phương trình:

600/x = 600/(30+x)+1

<=> 600(x+30)= 600x + (x+30)x

<=> x^2+30x - 18000=0

<=> (x-120)(x+150)=0

<=> x=120 (thỏa mãn x là số tự nhiên khác 0)

\(P=A.B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

Ta có : \(\left|P\right|-P=0\) \(\Leftrightarrow\left|P\right|=P\Leftrightarrow\left|\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right|=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

\(+TH_1:x\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\) (luôn đúng)

\(+TH_2:x< 0\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=0\)

\(\Leftrightarrow-2.\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

a: Thay x=121 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{121+7}{\sqrt{121}}=\dfrac{128}{11}\)

b: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{x-9}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-2x+\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-\sqrt{x}-3-2x+\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

c: \(S=\dfrac{1}{B}+A=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}+\dfrac{x+7}{\sqrt{x}}=\dfrac{x+\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}}\)

Vì \(x+\sqrt{x}+10=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+10>=10>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

và \(\sqrt{x}>0\forall\)x thỏa mãn ĐKXĐ

nên S>0 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ

=>S=|S|

Lời giải:

a.

\(B=\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)+\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-2x}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}=\frac{x-3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

b.

\(P=AB=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}\)

Để $P<0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}<0$

Mà $\sqrt{x}+3>0$ nên $\sqrt{x}-2<0$

$\Leftrightarrow 0< x< 4$

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra $0< x< 4$

Mà $x$ nguyên nên $x\in left\{1; 2; 3\right\}$

a: \(B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

c: A/B>4/3

=>\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}>\dfrac{4}{3}\)

=>\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\dfrac{4}{3}>0\)

=>\(\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-4\sqrt{x}}{3\sqrt{x}}>0\)

=>\(3\left(\sqrt{x}+1\right)-4\sqrt{x}>0\)

=>\(3\sqrt{x}+3-4\sqrt{x}>0\)

=>\(-\sqrt{x}>-3\)

=>\(\sqrt{x}< 3\)

=>0<=x<9

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: 0<x<9

\(a,M=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x+3}{x-1}\right)\\ =\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+x+3}{x-1}\right)\\ =\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}+x+3}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}+4}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{x-1}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)

`b,` Để `M>1` Thì :

\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}>1\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}-1>0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\\ \Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}>0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}+1>0\) `(` Vì \(2\sqrt{x}>0\)  do \(x>0\) `)`

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}>-1\\ \Rightarrow x< 1\)

1, Thay x = 16 vào ta được \(A=\dfrac{4}{4+3}=\dfrac{4}{7}\)

2, \(A+B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-9}{x-9}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{-x+6\sqrt{x}-9}{x-9}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\)

Ta có đpcm 

A

Thay x=16 vào biểu thức A , ta có :

A= 

\(P=A:B=\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

Có: \(\left|P+1\right|< 3P\left(ĐK:x>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left|\dfrac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+1\right|< 3.\dfrac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow\left|\dfrac{1-\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\right|< \dfrac{3-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow\left|\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\right|< \dfrac{3-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\) nên:

\(\left|\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\right|< \dfrac{3-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1-3+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}< 0\\ \Leftrightarrow\dfrac{4\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}< 0\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}< 0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>0\\2\sqrt{x}-1< 0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x< \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0< x< \dfrac{1}{4}\)