Do \(ab+bc+ac=2014\) nên từ giả thiết tương đương :

\(\frac{a^2+ab+bc+ac}{a+b}+\frac{b^2+ab+bc+ca}{b+c}+\frac{c^2+ab+bc+ca}{c+a}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{a+b}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c+a}\)

\(=a+c+b+a+c+b=2\left(a+b+c\right)\) (đpcm )

buithianhtho, Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, No choice teen, Akai Haruma, Nguyễn Thanh Hằng, Duy Khang,

@tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @Nguyễn Huy Thắng

Mn giúp e vs ạ! Cần gấp ạ!

Thanks nhiều lắm ạ!

Bác phải đọc cái đề nữa chứ. Đâu phải thấy giông giống là giải y chan đâu. Có thể cái đề của bác lúc trước là x,y,z không âm nên mới giải vậy. Còn nếu x,y,z dương thì phải giải khác.

Ta có:

\(a+a^3+b+b^3+c+c^3\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Vậy nên không tồn tại giá trị a,b,c thỏa mãn bài toán.

vì a+b+c=1 nên\(a,b,c\le1\)

 tc \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\)

nên \(a^3+b^3+c^3+a+b+c=2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^3-2a^2+a+b^3-2b^2+b+c^3-2c^2+c=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2+b\left(b-1\right)^2+c\left(c-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a-1\right)^2=0\\b\left(b-1\right)^2=0\\c\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0;a=1\\b=0;b=1\\c=0;c=1\end{cases}}}\)

mà a+b+c=1 nên 1 trong 3 số = 1 và 2 số còn lại =0

thi a= 1 ; b=c=0 thì \(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=1^{2014}+0^{2014}+0^{2014}=1+0+0=1\)

th2 a=b=0 ; c=1 thì \(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=0^{2014}+0^{2014}+1^{2014}=1\)

th3 a=c=0 ; b=1 thì \(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=0^{2014}+1^{2014}+0^{2014}=0+1+0=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^{2014}+\underbrace{1+1+....+1}_{1006}\geq 1007\sqrt[1007]{a^{2014}}=1007a^2\)

\(\Leftrightarrow a^{2014}+1006\geq 1007a^2\)

\(\Rightarrow a^{2014}+2013\geq 1007(a^2+1)\)

\(\Rightarrow \frac{a^{2014}+2013}{b^2+1}\geq \frac{1007(a^2+1)}{b^2+1}\). Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(A\geq 1007\left(\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\right)\)

\(\geq 1007.3\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{(b^2+1)(c^2+1)(a^2+1)}}=3021\) (theo AM-GM)

Vậy \(A_{\min}=3021\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đặt: \(\dfrac{a}{2012}=\dfrac{b}{2013}=\dfrac{c}{2014}=k\)

\(\rightarrow a=2012k,b=2013k,c=2014k\)

Vế trái: \(4.\left(2012k-2013k\right)\left(2013k-2014k\right)=4.\left(-1k\right).\left(-1k\right)=4k^2\)

Vế phải: \(\left(2014k-2012k\right)^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)

\(\rightarrow\) Vế trái = vế phải = \(4k^2\)

Ta có: a² + b² = c² + d² 

=> a² - c² = d² - b²

=> (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)

Mà a + b = c + d

=> a - c = d - b

+) Nếu a = c

=> a - c = d - b = 0

=> d = b

=> a²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ và d²⁰¹⁴ = b²⁰¹⁴ 

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴              (1)

+) Nếu a \(\ne\) c

=> a - c = d - b  (khác 0)

=> d \(\ne\) b 

Có (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)

=> a + c = d + c                     (2)

Mà a + b = c + d                     (3)

Lấy (2) + (3) ta được:

2a + b + c = 2d + b + c

=> 2a = 2d

=> a = d

=> c = b

=> a²⁰¹⁴ = d²⁰¹⁴ và c²⁰¹⁴ = b²⁰¹⁴

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴                 (4)

Kết hợp (1) và (4) ta được: a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴ (ĐPCM)