Bạn xem lại đề nghen, đoạn thỏa mãn đó có vấn đề phải không nhỉ?

Bạn nên dùng Geogebra hoặc Desmos vẽ cái đường tròn kia sẽ dễ nhìn hơn, gửi nhầm vô phần cmt của bạn dưới nên mình gửi lại

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+c^2a+ca^2+b^2c+bc^2+2abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)c+ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

=> Hoặc a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0

=> Hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a

Ko mất tổng quát, g/s a=-b

a) Ta có: vì a=-b thay vào ta được:

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)

\(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)

=> đpcm

b) Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow-b+b+c=1\Rightarrow c=1\)

=> \(P=-\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}=\frac{1}{1^{2021}}=1\)

Đặt \(THANG=ab\left(a+1\right)+bc\left(b+1\right)+ca\left(c+1\right)\) :v

Vì \(0\le a;b;c\le1\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\left(1-b\right)\le a\left(1-b\right)\\b^2\left(1-c\right)\le b\left(1-c\right)\\c^2\left(1-a\right)\le c\left(1-a\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow THANG\ge\left(a+b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-1\right)\)

Vì \(a+b+c\ge2\) nên \(a+b+c-1\ge1\). Vậy \(THANG\ge2\cdot1=2\)

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số \(a;b;c\) có 2 số bằng 1 và một số bằng 0

Áp dụng BĐT cosi:
`a^2+25>=10a`
`b^2+9>=6b`
`c^2+4>=4c`
`=>a^2+b^2+c^2+38>=10a+6b+4c`
`<=>a^2+b^2+c^2+38>=4(a+b+c)+2(a+b)+4a`
`<=>a^2+b^2+c^2+38>=10.4+2.8+4.5=76`
`<=>a^2+b^2+c^2>=38(đpcm)`
Dấu "=" `<=>a=5,b=3,c=2`

\(P=\dfrac{1}{log_a\dfrac{a}{b}}+log_bb-log_ba=\dfrac{1}{1-log_ab}+1-log_ba\)

\(=\dfrac{log_ba}{log_ba-1}+1-log_ba\)

Đặt \(log_ba=x\Rightarrow x\ge2\)

\(P=f\left(x\right)=\dfrac{x}{x-1}+1-x\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}-1< 0\) \(\Rightarrow\) hàm nghịch biến

\(\Rightarrow P\) chỉ tồn tại max (tại \(x=2\)), ko tồn tại min

Đề sai

Hướng suy nghĩ của bạn đúng rồi.

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử $y^2< xz$.

$0< y^2< xz$

$0< b^2< ac$

$\Rightarrow b^2y^2< xzac$

Theo đề bài ta có:

$2by=az+cx$

$\Rightarrow (az+cx)^2=4b^2y^2$

$\Leftrightarrow a^2z^2+c^2x^2+2acxz=4b^2y^2$

$a^2z^2+c^2x^2=4b^2y^2-2acxz< 4xzac-2acxz=2acxz$

$\Leftrightarrow (az-cx)^2< 0$ (vô lý)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức là $y^2\geq xz$

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

đề thiếu

Đặt \(a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\) là ra bạn KK