a) Ta có: \(10^{10}=10...0\) nên \(10^{10}-1=10...0-1=99...9\)

Nên: \(10^{10}-1⋮9\)

b) Ta có: \(10^{10}=10...0\) nên: \(10^{10}+2=10...0+2=10...2\)

Mà: \(1+0+...+2=3\)

Nên: \(10^{10}+2⋮3\)

c) Gọi số chẵn đó \(a\) số chẵn tiếp theo là:\(a+2\)

Mà tổng của 2 số chẵn đó là:

\(a+a+2=2a+2=2\left(a+1\right)\) không chia hết cho 4 nên 

Tổng của 2 số chẵn liên tiêp ko chia hết cho 4

d) Gọi hai số tự nhiên đó là: \(a,a+1\)

Tích của 2 số tự nhiên đó là:

\(a\left(a+1\right)=a^2+a\) 

Nếu a là số lẻ thì \(a^2\) lẻ nên \(a^2+a\) là chẳn

Nếu a là số chẵn thì \(a^2\) chẵn nên \(a^2+a\) là chẵn 

Vậy tích của hai số liên tiếp là chẵn

e) Gọi hai số đó là: \(2a,2a+2\)

Tích của hai số đó là:

\(2a\cdot\left(2a+2\right)=4a^2+4a=4a\left(a+1\right)\) 

4a(a+1) chia hết cho 8 nên

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8

d) Gọi một số tự nhiên bất kỳ là a 

\(\Rightarrow\) Số tự nhiên liền kề là a+1

Nếu a là số lẻ thì a+1 là số chẵn

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) là số chẵn

Nếu a là số chẵn thì \(a\left(a+1\right)\) là số chẵn 

Vậy tích hai số TN liên tiếp bao giờ cũng là một số chẵn

e) Gọi hai số chẵn liên tiếp lần lượt là 2a và 2a+2 ( a là một số TN bất kỳ )

Ta có \(2a\left(2a+2\right)=2a.2\left(a+1\right)=4a\left(a+1\right)\)

Ta chứng minh được tích hai số TN liên tiếp bao giờ cũng là một số chẵn

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) có dạng 2k ( k bất kỳ )

\(\Rightarrow2a\left(2a+2\right)=8k⋮8\) 

Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2k và 2k + 2 
Ta có :
2k(2k + 2) = 2k.2.(k + 1) = 4k(k + 1)
Vì k(k + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chai hết cho 2 (1)
Mà 4 chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4k(k + 1) chia hết cho 2 x 4 hay 2k(2k + 2 chia hết cho 8
 Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

2 * 4 = 8 : 8 = 1 

 4 * 6 =  24 : 8 = 3 

6 * 8 = 48 : 8 = 6 

8 x 10 = 80 : 8 = 10 

10 x 12 = 120 : 8 = 15 

nhận xét thương mỗi lần tăng theo số tự nhiện liên tiếp bắt đầu từ 2 

ta nhận xét k là mỗi lần tăng 8 đv bắt đầu từ 8 

vì hai k liên tiếp cộng 8 lên và bắt đầu là 2 * 4 = 8 tiếp như vậy cộng lên 8 thì xẽ chia hết

k = tích nha bn 

a, 2 số tự nhiên liên tiếp thì 1 trong 2 số luôn là số chẵn . Vì khi số chẵn nhân với số lẻ là số chẵn gấp lên nhiều lần nên sẽ là số chẵn (Vì số chẵn khi cộng với nhiều lần chính nó vẫn ra là số chẵn).

b , Tương tự như a khi số lẻ nhân với số chẵn vẫn ra số chẵn . Nếu n là số lẻ thì n+5 là số chẵn mà số lẻ nhân với số chẵn ra số chẵn nên n . ( n+5 ) là số chẵn  . Nếu n là số chẵn thì n vẫn là số chẵn mà số lẻ nhân với số chẵn nên n . (n+5) là số chẵn .

Vậy mọi trường hợp n. ( n+5 ) với n là số tự nhiên đều ra số chẵn .

Số tự nhiên ko chia hết cho có dạng: 3k + 1 hoặc 3k + 2.

TH1 : Cả 3 số đều có dạng: 3k + 1.

Ta có: (3k + 1) + (3k+1) + (3k + 1) = (3k + 3k + 3k) + (1 + 1 + 1)

= 9k + 3 = 3k . 3 + 3.1

= 3(3k + 1) chia hết cho 3

=> TH1 ( Thỏa mãn )

TH2: Cả 3 số đều có dạng: 3k + 2.

Ta có:(3k + 2)+(3k + 2)+(3k + 2)=(3k + 3k + 3k) + (2 + 2 + 2)

= 9k + 6 = 3k.3 +3.2

= 3(3k + 2) chia hết cho 3

=> TH2 ( Thỏa mãn )

TH3: Trong 3 số tự nhiên ấy có 1 số có dạng 3k + 1 và 2 số còn lại có dạng 3k + 2.

Ta có: (3k+1) + (3k + 2) + (3k + 2) = (3k + 1 + 3k + 2) + (3k +2)

= (6k + 3) + 3k + 2

Vì 6k + 3 chia hết cho 3 => TH3( Thỏa mãn )

TH4 : Trong 3 stn ấy có 1 số có dạng 3k + 2 và 2 số còn lại có dạng 3k + 1.

Ta có: (3k + 2) + (3k + 1) + (3k + 1) = ( 3k + 2 + 3k + 1) + (3k + 1)

= ( 6k + 3 ) + ( 3k + 1)

Vì 6k + 3 chia hết cho 3 => TH4 ( Thỏa mãn )

Chúc bạn học tốt! ~ Viết mỏi cả tay

Hihi ko sao! ~

a) Gọi số đó là x thì 4 số tự nhiên liên tiếp là : x ; x + 1 ; x + 2 ; x + 3 

Ta để ý thì ta thấy tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6 ( Cái này nhỏ hơn nên bạn có thể tự CM )

Một trong 4 số liên tiếp này có ít nhât 1 số chia hết cho 4

=> tích chia hết cho 6.4 = 24

b) Từ cách CM trên, bạn có thể chứng minh 5 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 5

Và tích liên tiếp trên sẽ chia hết cho 24.5 = 120

1.

\(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\)

Tích 5 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3,5

Ngoài ra trong 5 số này sẽ luôn tồn tại 2 ít nhất 2 số chẵn, trong đó có 1 số chia hết cho 4

Do đó tích 5 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2*3*4*5=120

2.(Tương tự)

3.Trong 3 số chẵn liên tiếp luôn tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 nên nó chia hết cho 2*2*4=16

Lại có trong 3 số chẵn liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3(cái này viết số đó dưới dang \(x\left(x+2\right)\left(x+4\right)\)rồi xét 3 trường hợp với x=3k, x=3k+1 và x=3k+2)

Do đó tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 3*16=48.

4.

Trong 4 số chẵn liên tiếp luôn tồ tạ 1 số chia hết cho 4 và 1 số chia hết cho 8, dó đó tích này chia hết cho 2*2*4*8=128

Lại có trong 4 số chẵn liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho 3( làm như phần trên)

Do đó tích chia hết cho 3*128=384

5.

\(m^3-m=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

Đây là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

Nên \(m^3-m\)chia hết cho 2*3=6

Ta có: aaa = 111a = 37.3.a 

CHia hết cho 37

Phân tích \(aaa=111.a\)

\(=>aaa=111.a=37.3.a\)

\(\)Mà 37 chia hết cho 37 \(=>37.3.a\)chia hết cho 37

\(=>111.a\)chia hết cho 37.

\(=>aaa\)cũng chia hết cho 37.