Ta có:

100:3 dư 1

=>100²⁰⁰⁸:3 dư 1

Mà 1+2=3 chia hết cho 3

=>100²⁰⁰⁸+2 chia hết cho 3

=>100²⁰⁰⁸+2/3 là số nguyên

Ta có:

100:9 dư 1

=>100²⁰⁰⁹:9 dư 1

Mà 1+17=18 chia hết cho 9

=>100²⁰⁰⁹+17 chia hết cho 9

=>100²⁰⁰⁹+17/9 là số nguyên.

=>100²⁰⁰⁸+2/3-100²⁰⁰⁹+17/9 là số nguyên.

Có:

A=(100^2008+2)/3=(1...00...0+2)/3

                      =1...00...2/3

Mà 1...00...2 chia hết cho 3 => A nguyên

B=(100^2009+17)/9=(1...00...0+17)/9

                            =1...00...17/9

Mà 1...00...17 chia hết cho 9 =>B nguyên

A - B (A;B nguyên) =>A - B nguyên.

Đơn giản vậy thôi bạn. Nhớ like nhé !!!!!!!!!!!!!!!!

khon phet

Xét tử của số bị trừa ta có :

\(100^{2008}+2=100...00+2=100..002\) (2007 chữ số 0)

Mà \(1+0+0+.....+0+2=3⋮3\) (2007 chữ số 0)

\(\Rightarrow100^{2008}+2⋮3\)

\(\Rightarrow\dfrac{100^{2008}+3}{3}\in Z\left(1\right)\)

Xét tử của số trừ ta có :

\(100^{2009}+17=100....000+17=100...0017\) (2007 chữ số 0)

Mà \(1+0+0+.........+17=9⋮9\) (2007 chữ số 0)

\(\Rightarrow100^{2009}+17⋮9\)

\(\Rightarrow\dfrac{100^{2009}+17}{9}\in Z\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{100^{2008}+2}{3}-\dfrac{100^{2009}+17}{9}\) là 1 số nguyên

\(100^{2008}+2=100....0000+2=1000.....0002\)

Ta có: Tổng các chữ số của số trên là:

\(1+0+0+.....+0+2=3\)

\(\Leftrightarrow100...002⋮3\Leftrightarrow\dfrac{100^{2008}+2}{3}\in Z\)

\(100^{2009}+17=100....0000+17=10000....0017\)

Ta có:
Tổng các chữ số của dãy trên là:

\(1+0+0+....+1+7=9\)

\(\Leftrightarrow100^{2009}+7⋮9\Leftrightarrow\dfrac{100^{2009}+17}{9}\in Z\)

Số nguyên-Số nguyên=số nguyên(đpcm)

Xét tử của số bị trừ ta có 10²⁰⁰⁸+2=100...0+2=100...002(có 2007 chữ số 0)

Mà 1+0+0+...+0+0+2=3\(⋮\)3(có 2007 chữ số 0)

=>Phân số \(\frac{10^{2008}+2}{3}\) là 1 số nguyên(1)

Xét tử của số trừ ta có 10²⁰⁰⁹+17=100...0+17=100...0017(có 2007 chữ số 0)

Mà 1+0+0+...+0+0+1+7=9\(⋮\)9(có 2007 chữ số 0)

=>Phân số \(\frac{10^{2009}+17}{9}\) là 1 số nguyên(2)

Từ (1) và (2)=>\(\frac{10^{2008}+2}{3}\)-\(\frac{10^{2009}+17}{9}\) là 1 số nguyên

Mình làm hơi tắt đáng lẽ từ dòng thứ 2 và 6 cậu phải suy ra 2 tử trên \(⋮\)3,9

1.

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{99}}+\frac{1}{2^{100}}+\frac{1}{2^{100}}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}+\left(\frac{1}{2^{100}}+\frac{1}{2^{100}}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}+\frac{1}{2^{99}}\)

cứ làm như vậy ta được :

\(=1+1=2\)

2. Ta có :

\(\frac{2008+2009}{2009+2010}=\frac{2008}{2009+2010}+\frac{2009}{2009+2010}\)

vì \(\frac{2008}{2009}>\frac{2008}{2009+2010}\); \(\frac{2009}{2010}>\frac{2009}{2009+2010}\)

\(\Rightarrow\frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2010}>\frac{2008+2009}{2009+2010}\)