Xét tử của số bị trừa ta có :
\(100^{2008}+2=100...00+2=100..002\) (2007 chữ số 0)
Mà \(1+0+0+.....+0+2=3⋮3\) (2007 chữ số 0)
\(\Rightarrow100^{2008}+2⋮3\)
\(\Rightarrow\dfrac{100^{2008}+3}{3}\in Z\left(1\right)\)
Xét tử của số trừ ta có :
\(100^{2009}+17=100....000+17=100...0017\) (2007 chữ số 0)
Mà \(1+0+0+.........+17=9⋮9\) (2007 chữ số 0)
\(\Rightarrow100^{2009}+17⋮9\)
\(\Rightarrow\dfrac{100^{2009}+17}{9}\in Z\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{100^{2008}+2}{3}-\dfrac{100^{2009}+17}{9}\) là 1 số nguyên
\(100^{2008}+2=100....0000+2=1000.....0002\)
Ta có: Tổng các chữ số của số trên là:
\(1+0+0+.....+0+2=3\)
\(\Leftrightarrow100...002⋮3\Leftrightarrow\dfrac{100^{2008}+2}{3}\in Z\)
\(100^{2009}+17=100....0000+17=10000....0017\)
Ta có:
Tổng các chữ số của dãy trên là:
\(1+0+0+....+1+7=9\)
\(\Leftrightarrow100^{2009}+7⋮9\Leftrightarrow\dfrac{100^{2009}+17}{9}\in Z\)
Số nguyên-Số nguyên=số nguyên(đpcm)