xD

Có: \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)(1)

\(=\frac{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}{y+z}+\frac{\left(y-x\right)\left(x+y\right)}{z+x}+\frac{\left(z-y\right)\left(y+z\right)}{x+y}\)

\(\left(1\right)=S_1\left(x-z\right)^2+S_2\left(y-x\right)^2+S_3\left(z-y\right)^2\)

Trong đó:

\(\hept{\begin{cases}S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\\S_2=\frac{x+y}{\left(z+x\right)\left(y-x\right)}\\S_3=\frac{y+z}{\left(x+y\right)\left(z-y\right)}\end{cases}}\)

Giả sử: \(x\ge y\ge z\)( x,y,z lớn hơn 0)

Có: \(S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\ge0\)

Xét: \(S_1+S_2=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}-\frac{x+y}{\left(x+z\right)\left(x-y\right)}=\frac{\left(x+z\right)^2+\left(x+y\right)\left(y+z\right)^2+\left(y+z\right)\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)}{.....}\ge0\)

Xét tiếp \(S_1+S_3\)là xong

Không biết đúng k tại mình hơi yếu

*Nếu được giả sử như bạn Cà Bùi thì bài làm của em như sau,mong mọi người góp ý ạ!

Ta có: \(VT=\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}-\frac{x^2-z^2+y^2-x^2}{x+y}\)

\(=\left(x^2-z^2\right)\left(\frac{x+y-y-z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)+\left(y^2-x^2\right)\left(\frac{x+y-z-x}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}\right)\) (nhóm các số thích hợp + quy đồng)

\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}{\left(z+x\right)}\)

Do a, b, c có tính chất hoán vị, nên ta giả sử y là số lớn nhất. Khi đó vế trái không âm hay ta có đpcm.

Bn giỏi quá !

Áp dụng BĐT cosi cho 3 số x;y;z dương

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{y^2z^2}}=\dfrac{2x}{z}\\ \dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{x^2z^2}}=\dfrac{2y}{z}\\ \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{x^2y^2}}=\dfrac{2z}{y}\)

Cộng vế theo vế 

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\)

\(\LeftrightarrowĐpcm\)

Thầy Ngô Văn Thái 

\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)

\(VT-VP=\Sigma\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{y^2}\ge0\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).

Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).

Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).

Do đó bđt ban đầu cũng đúng.

Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.

bé hơn hoặc bằng 15 nha bn

bé hơn hoặc bằng 11 nha bn

bn làm ko đc thì đừng ns

thầy mik làm đc ra rồi

nhưng bắt mik làm lại thôi bn à

ta có:

\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2\le2x+3\)

Tương tự:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta được:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\)\(+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\)

\(+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}\Rightarrow x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}\)(1)

\(y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\Rightarrow y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{zx}\)(2)

\(z+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{y}\Rightarrow z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\)(3)

Nhân vế theo vế ba đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0\left(^∗\right)\\x^2y^2z^2=1\end{cases}}\)

Từ (*) ta giả sử x - y = 0 thì x = y khi đó \(\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Rightarrow y=z\)suy ra x = y = z. Tương tự đối với y - z = 0; z - x = 0

Vậy x = y = z hoặc x²y²z² = 1