Với x;y dương, ta có BĐT:

\(x^5+y^5\ge x^2y^2\left(x+y\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(x^5-x^4y+y^5-xy^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\Rightarrow A\le\dfrac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+ab}+\dfrac{bc}{b^2c^2\left(b+c\right)+bc}+\dfrac{ca}{c^2a^2\left(c+a\right)+ca}\)

\(A\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\dfrac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(A\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}=\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=1\)

a: B(3)={3;6;...}

B(5)={5;10;...}

BC(3;5)={15;30;...}

b: B(4)={0;4;...;}

B(10)={10;20;...}

BC(4;10)=B(20)={0;20;40;...}

c: B(5)={5;10;...}

 B(15)={15;30;...}

BC(5;15)=B(15)={15;30;...}

d; B(2)={2;4;...}

B(9)={9;18;...}

BC(2;9)=B(18)={0;18;36;...}

e: B(3)={3;6;...}
B(12)={12;24;36;...}

BC(3;12)=B(12)={12;24;...}

f: B(8)={8;16;...}

B(14)={14;28;...}

BC(8;14)=B(56)={56;112;168;...}

Ở phân thức đầu tiên, bạn nhân cả tử và mẫu với c. Lúc này nó trở thành a^2.c/(1 + a^2.c + c).

Phân thức thứ 2, chuyển số 5 thành a^2.bc và chia cả tử lẫn mẫu cho b.

Phân thức cuối giữ nguyên.

Lúc này biểu thức cuối trở thành dạng cùng mẫu.

Tính như bình thường, kết quả là 1.

Từ \(a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\ge\left(a+b\right)^2a^2b^2\)\(\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5+ab\ge ab\left[ab\left(a+b\right)+1\right]\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{c}{a+b+c}\left(abc=1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\le\frac{a}{a+b+c};\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\frac{b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế ta có: \(VT\le\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

mk có cách giải khác Lyzimi, Thắng Nguyễn và Minh Triều xem thử nha :)

\(\forall x;y>0\) ta dễ dàng chứng minh được \(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\) và \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

(cái này để chứng minh bn thử biến đổi tương đương xem sao :)

Do đó \(a^5+b^5+ab\ge ab\left(a^3+b^3+1\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{ab}{ab\left(a^3+b^3+1\right)}=\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)(1)

Chứng minh tương tự \(\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\) (2) và \(\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\) (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta có \(VT\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a+b+c}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{abc}=1\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

mình hông hiểu ???

Ta có BĐT phụ: \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow a^5+b^5+ab\ge a^2b^2\left(a+b\right)+ab=ab\left(ab\left(a+b\right)+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\ge\dfrac{ab}{ab\left(ab\left(a+b\right)+1\right)}=\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+1}\)

\(=\dfrac{c}{abc\left(a+b\right)+c}=\dfrac{c}{a+b+c}\left(abc=1\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1=VP\)

Khi \(a=b=c=1\)

a=1,25

b=c=5