\(6xy=x+y\ge2\sqrt[]{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge\dfrac{1}{3}\Rightarrow xy\ge\dfrac{1}{9}\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\le9\)

\(M=\dfrac{\dfrac{x+1}{xy+1}+\dfrac{xy+x}{1-xy}+1}{1+\dfrac{xy+x}{1-xy}-\dfrac{x+1}{xy+1}}=\dfrac{\dfrac{x+1}{xy+1}+\dfrac{x+1}{1-xy}}{\dfrac{x+1}{1-xy}-\dfrac{x+1}{xy+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac{1}{1+xy}}{\dfrac{1}{1-xy}-\dfrac{1}{1+xy}}\)

\(M=\dfrac{1+xy+1-xy}{1+xy-1+xy}=\dfrac{2}{2xy}=\dfrac{1}{xy}\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)

\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

bài 3 min hay max ?

Theo bài ra ta có:

\(x^2y+xy^2+x+y=\left(x^2y+xy^2\right)+x+y\)

\(=xy\left(x+y\right)+x+y=x+y+x+y\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=16\Rightarrow x+y=16\div2=8\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=8^2=64\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=64\)

\(\Rightarrow x^2+2+y^2=64\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=64-2=62\)

Vậy \(x^2+y^2=62\)

\(x^2y+xy^2+x+y=16\)

\(\Leftrightarrow2x+2y=16\)

\(\Leftrightarrow x+y=8\)

Lại có\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)

                           \(=8^2-2\)

                          \(=62\)

Vậy\(x^2+y^2=62\)

Giả sử x=y

Nhân cả hai vế với x, ta được: x² = xy

Trừ cả hai vế cho y², ta được: x² - y² = xy - y²

Phân tích thành nhân tử cả hai vế, ta được: (x + y )( x - y ) = y( x – y )

Chia cả hai vế cho x - y, ta được: x + y = y

Vì x = y, do đó 2y = y

Chia cả hai vế cho y, ta có: 2 = 1

Có phải 2 = 1 không ? Tìm lỗi sai !

\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P=xy+\dfrac{1}{xy}=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\ge2\sqrt{xy.\dfrac{1}{16xy}}+\dfrac{15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

\(min_P=\dfrac{17}{4}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

sorry pạn ( nãy mik làm sai )

Tham khảo:

\(P=\dfrac{x^3+y^3}{x^3y^3}=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x^3y^3}=\dfrac{x^2y^2\left(x+y\right)}{x^3y^3}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2-xy}=\dfrac{4\left(x^2+y^2-xy\right)-3\left(x^2+y^2-2xy\right)}{x^2+y^2-xy}\)

\(=4-\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{x^2+y^2-xy}\le4\)

\(P_{max}=4\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Đáp án B

Theo giả thiết có  và

Và thay vào đẳng thức điều kiện có:

Đối chiếu với điều kiện nhận