\(13x^2+351=26^y\Leftrightarrow13\left(x^2+27\right)=26^y\)

vì y nguyên tố nên \(y\ge2\) nên vế phải chia hết cho 4

x nguyên tố và phải lẻ để vế trái chia hết cho 4  nên : \(x^2\text{ chia 8 dư 1}\)

nên \(x^2+27\text{ chia 8 dư 4}\) vậy vế trái chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8

nên \(y=2\Rightarrow13\left(x^2+27\right)=26^2\Rightarrow x=5\)

\(x^2+10x+26+y^2+2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+10x+25\right)+\left(y^2+2y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+5\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+5=0\\y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy \(x=-5\)và \(y=-1\)

\(x^2+10x+26+y^2+2y=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+10x+25+y^2+2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+5\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy..............

\(x^2+y^2-2x+10y+26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x.1+1^2\right)+\left(y^2-2x.5+5^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+5\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y+5\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\y+5=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=-5\end{cases}}\)

Chúc bn học giỏi nhoa!!!

=> x²- 2x+ 1+ y²+ 10y+ 25= 0

=> (x+1)²+ (y+5)²= 0

=> x+1= 0   và  y+5= 0  (bạn tự giải thích nha)

=> x= -1   và  y= -5

\(x^2+y^2-2x+10y+26=0.\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+10y+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+5\right)^2=0\)  (1)

Do \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y+5\right)^2\ge0\end{cases}}\)nên

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y+5\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+5=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=-5\end{cases}}}\)

Vậy x=1 và y= -5

a) \(\left(x+y+1\right)^3=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[x\left(1+y\right)+1+y\right]=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)=2\)

\(\Rightarrow x+1,y+1,x+y\) là các ước của 2.

Ta thấy 6 có 2 dạng phân tích thành tích 3 số nguyên là \(\left(2;1;1\right)\) và\(\left(2;-1;-1\right)\).

- Xét trường hợp \(\left(2;1;1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=2\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

Giải ra ta có \(\left(x,y\right)=\left(1;0\right),\left(0;1\right)\).

- Xét trường hợp \(\left(2;-1;-1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=-1\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=2\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\).

Giải ra ta có: \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\).

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right),\left(1;0\right),\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\)

b) \(y^2+2xy-8x^2-5x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(9x^2+5x\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x^2+\dfrac{5}{9}x+\dfrac{25}{324}\right)+\dfrac{25}{36}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=\dfrac{47}{36}\)

\(\Leftrightarrow6^2.\left(x+y\right)^2-3^2.6^2\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+6y\right)^2-\left(18x+5\right)^2=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+6y-18x-5\right)\left(6x+6y+18x+5\right)=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6y-12x-5\right)\left(24x+6y+5\right)=47\)

\(\Rightarrow\)6y-12x-5 và 24x+6y+5 là các ước của 47.

Lập bảng:

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm (x;y) nguyên là (1;3) và (1;-5)

Ta có:

\(P=x^3+y^3+26xy\)

Vì: x + y = 26

\(P=x^3+y^3+\left(x+y\right)xy\)

\(P=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)xy\)

\(P=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(P=26\left(x^2+y^2\right)\)

Mà \(x^2+y^2\ge0\left(\forall x,y\inℝ\right)\)

=> x^2 + y^2 đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y = 13

Vậy MinP = 26(13^2 + 13^2) = 8788

\(P=x^3+y^3+26xy\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+26xy\)

\(=26\left(x^2-xy+y^2\right)+26xy\)

\(=26\left(x^2+y^2\right)\)

Lại có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{26^2}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge26.\frac{26^2}{2}=8788\)

Dấu = xảy ra khi x=y=13