ΔABC vuông tại B

=>\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

ΔA'AC vuông tại A

=>\(A'C=\sqrt{A'A^2+AC^2}=a\sqrt{3}\)

=>Độ dài đường chéo là \(a\sqrt{3}\)

1) Một nữa độ dài đường chéo của hình thôi đã biết: \(\dfrac{24}{2}=12cm\)

Cạnh của hình thôi và một nữa độ dài đường chéo sẽ tạo nên một tam giác vuông tại giao điểm của 2 đường chéo:

Đặt A là một nữa độ dài đường chéo chưa biết.

Áp dụng định lý Pytago ta có:

\(20^2=A^2+12^2\)

\(\Rightarrow A^2=20^2-12^2=256\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{256}=16\left(cm\right)\)

Vậy độ dài đường chéo chưa biết là: \(16.2=32\left(cm\right)\)

Diện tích hình thôi là:
\(\dfrac{1}{2}\left(32.24\right)=384\left(cm^2\right)\)

2) Độ dài cạnh của hình lập phương là:

\(\sqrt[3]{125}=5cm\)

Diện tích xung quanh của hình lập phương là:

\(5^2.4=100\left(cm^2\right)\)

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương. Vì là hình lập phương nên kích thước các cạnh bằng nhau.

Như vậy đường chéo đáy, là đường chéo hình vuông cạnh ạ.

Độ dài đường chéo đáy là a 2

Suy ra: A C 1 2 = a 2 2 + a 2 = 2 a 2 + a 2 = 3 a 2

Mà AC1 =  12  nên 3 a 2  =12 ⇒ a 2 =4 ⇒ a=2

Vậy cạnh hình lập phương bằng 2(đơn vị dài)

a: Độ dài đường chéo là \(5\sqrt{2}\left(cm\right)\)

độ dài cạnh còn lại của HCN :

13²- 5²=144

=> cạnh còn lại = 12 cm

S hcn :

12 . 5=60 cm

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác AA’C vuông tại A có

\(A'{C^2} = A{A'^2} + A{C^2} = {a^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 3{a^2} \Rightarrow A'C = a\sqrt 3 \)

Vậy độ dài đường chéo hình lập phương bằng \(a\sqrt 3 \)

b) Ta có \(\begin{array}{l}BD \bot AC,BD \bot AA' \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right);BD \subset \left( {BDD'B'} \right)\\ \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDD'B'} \right)\end{array}\)

c) Ta có \(C'O \bot BD\left( {BD \bot \left( {ACC'A'} \right)} \right),CO \bot BD \Rightarrow \left[ {C,BD,C'} \right] = \left( {CO,C'O} \right) = \widehat {COC'}\)

\(OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác COC’ vuông tại C có

\(\tan \widehat {COC'} = \frac{{CC'}}{{OC}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2  \Rightarrow \widehat {COC'} = \arctan \sqrt 2 \)

Ta có \(C'O \bot BD\left( {BD \bot \left( {ACC'A'} \right)} \right),AO \bot BD \Rightarrow \left[ {A,BD,C'} \right] = \left( {AO,C'O} \right) = \widehat {AOC'}\)

\(\widehat {AOC'} = {180^0} - \widehat {COC'} \approx 125,{26^0}\)