\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

bài 3 min hay max ?

đề thiếu r`

1.

Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)

Dấu "=" khi a = b.

Áp dụng:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=4+2+5=11\)

Vậy Min_A = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)

\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)

\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)

Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)

Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)

\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\cdot\left(x+y\right)\cdot\frac{7}{2}+\frac{49}{4}-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x+y+5\right)=-y^2\le0\)

Vì \(x+y+2< x+y+5\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\le0\\x+y+5\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)

\(\Leftrightarrow-4\le x+y+1\le-1\)

Vậy: \(Min=-4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.;Max=-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)

x/y+y/x=x^2+y^2/xy​                       sử dụng bdt cosi =>x^2+y^2/xy+xy/x^2+y^2>=1

ta có: \(M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{xy}\cdot\frac{xy}{x^2+y^2}}=2\cdot\sqrt{1}=2\cdot1=2.\)

(Ở đây mình áp dụng BĐT Cauchy: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)nhé!)

Học tốt! ^3^

\(P\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}}{2}\ge\frac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy

Các bạn ơi giúp mình với ạ, cảm ơn nhiều!

dong y quan diem @aliba

bo xung them. nhieu qua khi tra loi phan cau hoi troi len khoi man hinh =>" ko nhin duoc de bai"

(da khong biet lai con luoi dang cau hoi nua)