Violympic toán 9

NY

1, Cho x > 0, y > 0, x + y \(\le\)1

Tìm MinA = \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)

2, Tìm Min và max của P = \(\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\)

3, Cho (x + y)2 + 7(x + y) +y2 + 10 = 0

Tìm min, Max của P = x + y + 1

4, Cho x > 0, y > 0 và x + y \(\le\)1

CMR : \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)

LD
4 tháng 5 2019 lúc 11:51

1.

Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)

Dấu "=" khi a = b.

Áp dụng:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=4+2+5=11\)

Vậy MinA = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)
LD
4 tháng 5 2019 lúc 12:03

\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)

\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)

\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)

Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)

Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)

Bình luận (0)
LD
4 tháng 5 2019 lúc 12:20

\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\cdot\left(x+y\right)\cdot\frac{7}{2}+\frac{49}{4}-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x+y+5\right)=-y^2\le0\)

\(x+y+2< x+y+5\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\le0\\x+y+5\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)

\(\Leftrightarrow-4\le x+y+1\le-1\)

Vậy: \(Min=-4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.;Max=-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
LD
4 tháng 5 2019 lúc 12:21

4. Câu này easy hơn câu 1:

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Dấu = khi x = y =\(\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)
NY
4 tháng 5 2019 lúc 4:58

tran nguyen bao quanPhùng Tuệ MinhThảo Nguyễn Phạm Phương?Amanda?Luân Đàonà níKhôi Bùi YPhạm Hoàng Hải AnhNguyễn Thành TrươngNguyễn Huy TúAkai HarumaAce LegonaNguyễn Thanh HằngRibi Nkok NgokMysterious Personsoyeon_Tiểubàng giảiVõ Đông Anh TuấnPhương AnTrần Việt Linh

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
PK
Xem chi tiết
MH
Xem chi tiết
BL
Xem chi tiết
SV
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
TV
Xem chi tiết
MD
Xem chi tiết
ND
Xem chi tiết
BL
Xem chi tiết