a) Xét Δ AIB và Δ CID:

+ IB = ID (gt).

+ IA = IC (I là trung điểm của AC).

+ ^AIB = ^CID (2 góc đối đỉnh).

=> Δ AIB = Δ CID (c - g - c).

b) Xét tứ giác ABCD có:

+ I là trung điểm của AC (gt). 

+ I là trung điểm của BC (IB = ID).

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành (dhnb).

=> AD = BC và AD // BC (Tính chất hình bình hành).

c) Xét tứ giác KABC có: 

+ E là trung điểm của AB (gt).

+ E là trung điểm của KC (EC = EK).

=> Tứ giác KABC là hình bình hành (dhnb).

=> KA // BC (Tính chất hình bình hành).

Mà AD // BC (cmt).

=> 3 điểm D, A, K thẳng hàng (đpcm).

a) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=90^0-30^0=60^0\)

Ta có: CD là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)(gt)

nên \(\widehat{DCB}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

mà \(\widehat{DBC}=30^0\)(gt)

nên \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)

Xét ΔBCD có \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)(cmt)

nên ΔBCD cân tại D(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔACD vuông tại A và ΔHCD vuông tại H có 

CD chung

\(\widehat{ACD}=\widehat{HCD}\)(CD là tia phân giác của \(\widehat{ACH}\))

Do đó: ΔACD=ΔHCD(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: CA=CH(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔCAH có CA=CH(cmt)

nên ΔCAH cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔCHA cân tại C có \(\widehat{ACH}=60^0\)(cmt)

nên ΔCHA đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

b) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\tan\widehat{B}\)

\(\Leftrightarrow AC=5\cdot\tan30^0\)

hay \(AC=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=5^2+\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{100}{3}\)

hay \(BC=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}cm\)

Vậy: \(AC=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}cm\); \(BC=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}cm\)

a, ta có
BC^2=5^2=25
AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25
=>AB^2+AC^2=BC^2
=> tam giác ABC vuông tại A
b. 
Dx vuông góc với BC
=> góc BDH=90 độ
xét tam giác HBA và tam giác HBD có
BA=BD(gt)
HB cạnh chung
góc HAB=góc HDB= 90 độ
=> tam giác HBA= tam giác HBD(cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> góc HBA=góc HBD(hai góc tương ứng)
=> BH là phân giác góc ABD

TA CÓ TAM GIÁC ABC VUÔNG TẠI B , AD ĐL PYTAGO TA CÓ

\(AB^2+BC^2=AC^2\)

=>\(8^2+15^2=289=>AC^{ }=17\)

=>AC=17 CM