Lời giải:

Ta thấy:

$9x^2-6x+2=(9x^2-6x+1)+1$

$=[(3x)^2-2.3x+1^2]+1=(3x-1)^2+1$

Vì $(3x-1)^2\geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow 9x^2-6x+2=(3x-1)^2+1\geq 1>0$ với mọi $x$

Ta có đpcm.

Bài này đơn giản thôi. 

Đặt f(x) =  6x⁴ - 18x³ + 23x² - 13x + 4 > 0

\(f\left(x\right)=\frac{47}{54}+\frac{1}{54}\left(18x^2-27x+13\right)^2+\frac{5}{6}x^2\)

Thao tác trên Maple (vào thống kê hỏi đáp xem ảnh)

Còn cách phân tích bằng tay thì qua VMF có bài viết của mình nói về điều này nhé.

a.x²+6x+9>0

(x+3)²>0

Vậy đẳng thức trên đúng

b. x²+6x+10>1

x²+6x+9+1>1

(x+3)²>0

Vậy đẳng thúc trên đúng

a)\(x^2+6x+9\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2.2x.3+3^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)^2>0\)

b)\(x^2+6x+10\)

\(\left(x^2+2.2x.3+3^2\right)+1\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)^2+1>1\left(vì\left(x+3\right)^2>0\right)\)

Lời giải:

$x^4-4x+5=(x^4-2x^2+1)+(2x^2-4x+2)+2$

$=(x^2-1)^2+2(x-1)^2+2\geq 2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Ta có đpcm.

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

a) Biến đổi vế trái:

b) Biến đổi vế trái:

tham khảo link: https://lazi.vn/edu/exercise/202136/cho-a-b-c-0-chung-minh-cac-bat-dang-thuc-sau