Lời giải:
Theo hệ thức Viet, nếu $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt $x^2-2xm-m^2-1=0$ thì:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=-m^2-1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2)^2=4m^2\\ 4x_1x_2=-4m^2-4\end{matrix}\right.\)

$\Rightarrow (x_1+x_2)^2+4x_1x_2=-4$

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+6x_1x_2=-4$ 

Đây chính là biểu thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ độc lập với $m$.

Hệ:  m x + 3 m − 2 y + m − 3 = 0 2 x + m + 1 y − 4 = 0 ⇔ m x + 3 m − 2 y = 3 − m 2 x + m + 1 y = 4

Ta có:

D = m 3 m − 2 2 m + 1 = m 2 − 5 m + 4 = m − 1 m − 4

D x = 3 − m 3 m − 2 4 m + 1

= 3 − m m + 1 − 4 3 m − 2 = − m + 11 = 1 − m m + 11

D y = m 3 − m 2 4 = 4 m − 6 + 2 m = 6 m − 6 = 6 m − 1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⇔ D ≠ 0 ⇔ m − 1 m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 m ≠ 4

⇒ x = D x D = 1 − m m + 11 m − 1 m − 4 = m + 11 4 − m     ( 1 ) y = D y D = 6 m − 1 m − 1 m − 4 = 6 m − 4     ( 2 )

Từ 2 ⇒ m − 4 y = 6 ⇔ m y = 6 + 4 y ⇔ m = 6 + 4 y y = 6 y + 4

Thay vào (1) ta được:

x = 6 y + 4 + 11 : 4 − 6 y − 4 = − 6 + 15 y 6 = − 1 − 15 6 y

Đáp án cần chọn là: C

Để pt có no thì: \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m^2+2\ge0\) (đúng \(\forall m\))

theo viet, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_1+x_2}{2}=m\\x_1x_2=-\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2+1+x_1x_2=0\)

a) \(\Delta\)= b²-4ac=\([-2\left(m-1\right)\)²-4.1.(m-3)

                           =4(m²-2m+1)-4m+12

                                =4m²-12m+16=(2m-3)²+7>0

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b)Vì pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với m

Theo vi ét ta có:x₁+x₂=\(\frac{-b}{a}\)= 2m-2=S (1)

                     x₁.x₂=\(\frac{c}{a}\)=m-3=P (2)

Từ(1)\(\Rightarrow2m=S+2\)

          \(\Rightarrow m=\frac{S+2}{2}\left(3\right)\)

Từ(2)\(\Rightarrow m=P-3\left(4\right)\)

Từ (3) và(4)\(\Rightarrow\frac{S+2}{2}=P-3\)

               \(\Leftrightarrow S+2-2P+6=0\)

               \(\Leftrightarrow S-P+8=0\)

Do đó\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)-\left(x._1.x_2\right)+8=0\left(đfcm\right)\)

Ta có: D = m − 1 1 1 m − 1 = m 2 − 2 m + 1 − 1 = m 2 − 2 = m ( m − 2 )

D x = 3 m − 4 1 m m − 1 = 3 m − 4 m − 1 − m = m 2 − 8 m + 4 = ( m − 2 ) ( 2 m − 3 )

D y = m − 1 3 m − 4 1 m = m 2 − m − 3 m + 4 = m 2 − 4 m + 4 = ( m − 2 ) 2

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ D ≠ 0 ⇔ m ( m − 2 ) ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 m ≠ 2 ⇒ x = D x D = 3 m − 2 m     ( 1 ) y = D y D = m − 2 m     ( 2 )

Từ (1) ⇔ x m = 3 m - 2 ⇔ m = 2 3 − x

Thay vào (2) ta được:  y = 1 - 2 m = 1 - ( 3 - x ) = x - 2

Vậy y = x – 2

Đáp án cần chọn là: A

a/ Thay \(x=0\) vào pt ta được:

\(m^2-3m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)

- Khi \(m=0\Rightarrow x^2+2x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

- Khi \(m=3\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

b/ Theo định lý Viet:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\frac{x_1+x_2+2}{2}\\x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2=\left(\frac{x_1+x_2+2}{2}\right)^2-\frac{3}{2}\left(x_1+x_2+2\right)\)

Đáp án: A

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Ta xét các phương án: