\(x^2+y^2+z^2+3xyz\)

`#3107`

`a)`

`A=`\(3x^4 + \dfrac{1}3xyz - 3x^4 - \dfrac{4}3xyz + 2x^2y - 6z\)

`= (3x^4 - 3x^4) + (1/3xyz - 4/3xyz) + 2x^2y - 6z`

`= -xyz + 2x^2y - 6z`

Thay `x = 1; y = 3` và `z = 1/3` vào A

`A = -1*3*1/3 + 2*1^2*3 - 6*1/3`

`= -1 + 6 - 2`

`= 6 - 3`

`= 3`

Vậy, `A=3`

`b)`

`B=`\(4x^3 - \dfrac{2}7xyz - 4x^3 - \dfrac{4}3xyz + 4x^2y\)

`= (4x^3 - 4x^3) + (-2/7xyz - 4/3xyz) + 4x^2y`

`= -34/21 xyz + 4x^2y`

Thay `x = -1; y = 2` và `z = -1/2` vào B

`B = -34/21*(-1)*2*(-1/2) + 4*(-1)^2 * 2`

`= -34/21 + 8`

`= 134/21`

Vậy, `B = 134/21`

`c)`

`C=`\(4x^2 + \dfrac{1}2xyz - \dfrac{2}3xy^2z - 5x^2yz + \dfrac{3}4xyz\)

`= 4x^2 + (1/2xyz + 3/4xyz) - 2/3xy^2z - 5x^2yz `

`= 4x^2 + 5/4xyz - 2/3xy^2z - 5x^2yz`

Ta có:

`|y| = 2`

`=> y = +-2`

Thay `x = -1; y = 2` và `z = 1/2` vào C

`4*(-1)^2 + 5/4*(-1)*2*1/2 - 2/3*(-1)*2^2*1/2 - 5*(-1)^2*2*1/2`

`= 4 - 5/4 + 4/3 - 5`

`= -11/12`

Vậy, với `x = -1; y = 2; z = 1/2` thì `B = -11/12`

Thay `x = -1; y = -2; z = 1/2`

`B = 4*(-1)^2 + 5/4*(-1)*(-2)*1/2 - 2/3*(-1)*(-2)^2*1/2 - 5*(-1)^2*(-2)*1/2`

`= 4 + 5/4 + 4/3 + 5`

`= 139/12`

Vậy, với `x = -1; y = -2; z = 1/2` thì `B = 139/12.`

1. 20\(x^2y^3\) : 4x\(y^2\) = 5xy

2. \(\dfrac{-1}{2}x^4y^4\) : \(\dfrac{2}{3}x^2y^2\) = \(\dfrac{-3}{4}x^2y^2\)

3. \(\left(-xy\right)^6:\left(-xy\right)^2=\left(-xy\right)^2\) = xy

4. 27\(x^2y^3z^4:\left(-3xyz\right)^2\) = 27\(x^2y^3z^4\) : 9 \(x^2y^2z^2\) = 3y\(z^2\)

5. \(\left(-x\right)^{10}:\left(-x\right)^5=\left(-x\right)^2\) = x

Câu hỏi của Lê Thu Hoài - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

Áp dụng công thức hằng đẳng thức:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\) ta có:

\(x^3+y^3+3xyz=z^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+(-z)^3-3xy(-z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y-z)(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz)=0\)

TH1: \(x+y-z=0\)

\(\Leftrightarrow z=x+y\)

Thay vào: \(z^3=2(2x+2y)^2=8(x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3=8(x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2(x+y-8)=0\)

Do x,y nguyên dương nên \((x+y)^2\neq 0\Rightarrow x+y-8=0\Rightarrow x+y=8\Rightarrow z=8\)

\(x+y=8\Rightarrow (x,y)=(1,7); (2;6); (3;5); (4;4)\) và các hoán vị tương ứng

TH2: \(x^2+y^2+z^2-xy+yz+xz=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}{2}=0\)

Vì \((x-y)^2; (y+z)^2; (z+x)^2\geq 0\Rightarrow (x-y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ y+z=0\\ z+x=0\end{matrix}\right.\) (vô lý do x,y,z nguyên dương)

Vậy \((x,y,z)=(1;7;8); (2;6;8); (3;5;8); (4;4;8); (5;3;8); (6;2;8); (7;1;8)\)