a)a<b

=>a+c<b+c(1)

c<d

=>b+c<b+d(2)

Từ 1 và 2 =>a+c<b+d

b)a<b

=>ac<bc(1)

c<d

=>bc<bd(2)

Từ 1 và 2 =>ac<bd

a) a<b \(\Rightarrow\) a+c < b+c (1)

c<d\(\Rightarrow\) c+b < d+b (2)

Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\)a+c < b+d (dpcm)

b) a<b \(\Rightarrow\) ac < bc ( vì c dương) (1)

c < d\(\Rightarrow\) bc < bd (vì b dương) (2)

Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\) ac < bd (đpcm)

a)Áp dụng AM-GM có:

\(a\sqrt{b-1}\le a.\dfrac{b-1+1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

\(b\sqrt{a-1}\le b.\dfrac{a-1+1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}\)

\(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=2

b)Áp dụng bđt bunhiacopxki có:

\(\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2=\left(\sqrt{a}.\sqrt{c}+\sqrt{b}.\sqrt{d}\right)^2\)\(\le\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{d}\right)^2\right]=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{d}}\Leftrightarrow ad=bc\)

\(b,\) Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\left(a+b\right)\left(c+d\right)=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{d}\right)^2\right]\\ \ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow ad=bc\)

\(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=\left(b+d\right)^2-\left(a-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=b^2+d^2+2bd-a^2-c^2+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2-c^2=b^2+d^2+ac+bd\) (1)

Ta có

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=a^2bd+ab^2c+acd^2+bc^2d=\)

\(=bd\left(a^2+c^2\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\) (2)

Thay (1) vào (2)

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2+ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2\right)+bd\left(ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(b^2+d^2\right)\left(ac+bd\right)+bd\left(ac+bd\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(ac+bd\right)\left(b^2+d^2+bd\right)\) (3)

Do \(a>b>c>d\)

\(\Rightarrow\left(a-d\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab-ac-bd+cd>0\)

\(\Leftrightarrow ab+cd>ac+bd\) (4)

Và 

\(\left(a-b\right)\left(c-d\right)>0\Leftrightarrow ac-ad-bc+bd>0\)

\(\Leftrightarrow ac+bd>ad+bc\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow ab+cd>ad+bc\) 

Ta có

(3)\(\Leftrightarrow b^2+d^2+bd=\dfrac{\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)}{\left(ac+bd\right)}\) (6)

Vế trái là số nguyên => vế phải cũng phải là số nguyên

Giả sử ab+cd là số nguyên tố mà \(ab+cd>ac+bd\)

\(\Rightarrow UC\left(ab+cd;ac+bd\right)=1\) => ab+cd không chia hết cho ac+bd

=> để vế phải của (6) là số nguyên \(\Rightarrow ad+bc⋮ac+bd\Rightarrow ad+bc>ac+bd\) Mâu thuẫn với (5) nên giả sử sai => ab+cd không thể là số nguyên tố

mình là người mới ,cho mình hỏi làm sao để kiếm xu đổi quà

có thiếu ĐK nào k bạn ?

áp dụng BĐT cauchy :

\(\dfrac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\dfrac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{bd}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2\left(c+\sqrt{d}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{bd}}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)}\)

việc còn lại cần chứng minh \(\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)\le2\left(ac+\sqrt{bd}\right)\)(đúng theo BĐT chebyshev)(không mất tính tổng quát giả sừ \(a\le\sqrt{b};c\le\sqrt{d}\))

dấu = xảy ra khi \(a=\sqrt{b};c=\sqrt{d}\)

Đề phải thêm là \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) nhé.

a)

b)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2c}{2d}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

(1)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a+2c}{b+2d}=\frac{a+c}{b+d}\)

Chúc bạn học tốt!