a)

\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 1} \right) = 1\end{array}\)

b) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và có hệ số góc bằng \(k = f'\left( 1 \right) = 1\) là: \(y - \frac{1}{2} = 1\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = x - 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = x - \frac{1}{2}\).

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại duy nhất điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\).

a) Parabol: \(y = a{(x - h)^2} + k\) với \(I(h;k) = \left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\) là tọa độ đỉnh.

\( \Rightarrow y = a{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\)

(P) đi qua \(A(1;2)\) nên \(2 = a{\left( {1 - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Rightarrow a = 1\)

\( \Rightarrow y = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Leftrightarrow y = {x^2} - 5x + 6\)

Vậy parabol đó là \(y = {x^2} - 5x + 6\)

b) Vẽ parabol \(y = {x^2} - 5x + 6\)

+ Đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\)

+ Giao với Oy tại điểm \((0;6)\)

+ Giao với Ox tại điểm \((3;0)\) và \((2;0)\)

+ Trục đối xứng \(x = \frac{5}{2}\). Điểm đối xứng với điểm \((0;6)\) qua trục đối xứng có tọa độ \((5;6)\)

b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right)\)

c) \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\)

Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy các điểm có\(y \ge 0\) ứng với hoành độ \(x \in ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

Do đó tập nghiệm của BPT \(f(x) \ge 0\) là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) \ge 0\end{array}\)

Do đó \(x - 2\) và \(x - 3\) cùng dấu. Mà \(x - 2 > x - 3\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của BPT là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

Giải:

Vì đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)=ax+2\) đi qua điểm \(A\left(a-1;a^2+a\right)\) nên:

\(a^2+a=a\left(a-1\right)+2\)

\(\Leftrightarrow a^2+a=a^2-a+2\)

\(\Leftrightarrow2a=2\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{2}=1\)

b) Với \(a=1\) thì \(y=f\left(x\right)=x+2\) ta có:

\(f\left(2x-1\right)=f\left(1-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)+2=\left(1-2x\right)+2\)

\(\Leftrightarrow4x=2\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=5\Rightarrow0+0+5\Rightarrow c=5\\f\left(1\right)=0\Rightarrow a+b+5=0\\f\left(5\right)=0\Rightarrow25a+5b+5=0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\\\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

tu (3) => b =-1-5a

tu (2) => a-1-5a+5 =0 => a =1 ;b =-6

y =x^2 -6x +5

y(-1) =1 +6 +5 khac 3 => loai

y(-1/2) =1/4 -6/2 +5 =1/4 +2 = 9/4 nhan

Q(1/2;9/4) thuoc dths

a) f(x) = (x+2)(x-1)

f(x) > 0 với x < -2 hoặc x > 1

f(x) ≤ 0 với -2 ≤ x ≤ 1

b) y = 2x (x + 2) = 2(x+1)² – 2

Bảng biến thiên:

Hàm số :

Bảng biến thiên :

Đồ thị (C₁) và (C₂)

Hoành độ các giao điểm A và B của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình f(x) = 0 ⇔ x₁ = -2, x₂ = 1

⇔ A(-2, 0) , B(1, 6)

c) Giải hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac-b^2}{4a}\\a\left(-2\right)^2+b\left(-2\right)+c=0\\a\left(1\right)^2+b\left(1\right)+c=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2,b=0,c=8\\a=-\dfrac{2}{9},b=\dfrac{16}{9},c=\dfrac{40}{9}\end{matrix}\right.\)

Từ điểm \(y = 2\) trên \(Oy\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(Oy\) cắt đồ thị hàm số tại điểm \(C\). Khi đó, điểm \(C\) là điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2.

vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left(-1;\frac{5}{2}\right)\) nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình sau: \(\frac{a+b}{-2}=\frac{5}{2}\Rightarrow a+b=-5\)(*)

ta tính y' có:

\(y'=\frac{\left(2ax-b\right)\left(x-1\right)-\left(ax^2-bx\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{2ax^2-2ax-bx+b-ax^2+bx}{\left(x-1\right)^2}=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\)

vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm O(0;0) bằng 3 nên \(y'\left(O\right)=\frac{b}{\left(0-1\right)^2}=-3\Rightarrow b=-3\)

thay b=-3 vào (*) ta tìm được a=-2

vậy a=-2;b=-3