Bài 4: Đường tiệm cận

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\dfrac{1}{2}\)

Tiệm cận ngang là \(y=\dfrac{1}{2}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow3}y=-\infty\)

Tiệm cận đứng \(x=3\)

1D

2A

Lời giải:

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty}y=\lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac{mx+1}{2m+1-x}=-m\) nên $y=-m$ là TCN của đths 

\(\lim\limits_{x\to 2m+1}y=\lim\limits_{x\to 2m+1}\frac{mx+1}{2m+1-x}=\infty\) nên $x=2m+1$ là TCĐ của đths 

2 TC tạo với trục $Ox, Oy$ một HCN có độ dài $|m|, |2m+1|$

Ta có:
$|m(2m+1)|=3$

$\Leftrightarrow 2m^2+m=3$ hoặc $2m^2+m=-3$

$\Leftrightarrow m=1$ hoặc  $m=\frac{-3}{2}$

Giả sử tồn tại 1 số \(k>1\) sao cho \(u_k\) là số hữu tỉ

\(\Rightarrow u_k=\sqrt{1+2u_k.u_{k-1}}\Rightarrow u_k^2=1+2u_k.u_{k-1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{u_k}{2}-\dfrac{1}{2u_k}=u_{k-1}\)

Do \(u_k\) hữu tỉ \(\Rightarrow\dfrac{u_k}{2}-\dfrac{1}{2u_k}\) hữu tỉ

\(\Rightarrow u_{k-1}\) hữu tỉ

Theo nguyên lý quy nạp, ta suy ra mọi số hạng trong dãy đều là số hữu tỉ

Nhưng \(u_2=1+\sqrt{2}\) là số vô tỉ (trái với giả thiết)

Vậy điều giả sử là sai hay với mọi \(k>1\) thì \(u_k\) luôn là số vô tỉ

Hay \(u_{2019}\) là số vô tỉ

Chắc đề phải là \(u_1=1\) mới đúng (nãy ko để ý, ai cho \(u_n=1\) bao giờ, điều đó đồng nghĩa mọi số hạng của dãy đều bằng 1, phi lý)

Thử truy hồi theo lượng giác để tìm CTTQ của dãy (mặc dù điều này sẽ không chứng minh được \(u_k\) hữu tỉ, vì chứng minh 1 giá trị lương giác là hữu tỉ rất khó)

Hiển nhiên dãy đã cho là dãy dương

\(u_{n+1}^2=1+2u_nu_{n+1}>1+u_nu_{n+1}\Rightarrow u_{n+1}>\dfrac{1}{u_{n+1}}+u_n\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n>\dfrac{1}{u_{n+1}}>0\)

Do đó: \(u_{n+1}^2=1+2u_nu_{n+1}\Leftrightarrow u_{n+1}^2-2u_nu_{n+1}+u_n^2=u_n^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(u_{n+1}-u_n\right)^2=u_n^2+1\Rightarrow u_{n+1}=u_n+\sqrt{u_n^2+1}\)

Có: \(u_1=1=tan\dfrac{\pi}{4}\)

\(u_2=tan\dfrac{\pi}{4}+\sqrt{tan^2\dfrac{\pi}{4}+1}=tan\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{cos\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{sin\dfrac{\pi}{4}+1}{cos\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{sin\dfrac{\pi}{8}+cos\dfrac{\pi}{8}}{cos\dfrac{\pi}{8}-sin\dfrac{\pi}{8}}\)

\(=tan\left(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}\right)\right)\)

\(u_3=tan\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}\right)\right)\)

\(u_4=tan\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi}{4}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}\right)\right)\)

Vậy có thể tổng quát được:

\(u_n=tan\left(\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^n}\right)\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow u_{10}=tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2^{11}}\right)\)

a.

\(-2x^2+x+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) (và đều không phải nghiệm của tử số)

\(\Rightarrow x=-1\) và \(x=\dfrac{3}{2}\) là 2 TCĐ

b.

\(x^2-5x-4=0\Rightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{41}}{2}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{41}}{2}\) là 2 TCĐ 

Hàm số \(y=2x-\dfrac{3}{x}+2\) có tiệm cận đứng là đường thẳng x=0, không có tiệm cận ngang.

Hàm số \(y=2x-\dfrac{3}{x+2}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng x= -2, không có tiệm cận ngang.

Hàm số \(y=\dfrac{2x-3}{x+2}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2, tiệm cận đứng là đường thẳng x= -2. 

Lời giải:
Theo đề thì cần tìm $m$ để đths đã cho cho TCĐ $x=2$

Điều này xảy ra khi mà $2x+2m=0$ tại $x=2$

$\Leftrightarrow m=-x=-2$

Đáp án B.