Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa:

Gọi G là trọng tâm tam giác, P là trung điểm AB

Áp dụng công thức trung tuyến:

\(CP^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}=\dfrac{10c^2-c^2}{4}=\dfrac{9c^2}{4}\)

\(\Rightarrow CP=\dfrac{3c}{2}\Rightarrow GP=\dfrac{1}{3}CP=\dfrac{c}{2}=\dfrac{AB}{2}=AP=BP\)

\(\Rightarrow\widehat{AGB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB

\(\Rightarrow AM\perp BN\)

 Xin phép được chia sẻ 1 cách giải  để bạn tham khảo, em cám ơn thầy Nguyễn Việt Lâm luôn nhiệt tình giúp đỡ chúng em ạ

Ta sẽ chứng minh c là cạnh nhỏ nhất.

Thật vậy,giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất.

Giả sử \(c\ge a\Rightarrow c+c\ge a+c>b\Rightarrow2c>b\Leftrightarrow4c^2>b^2\)

Do \(c\ge a\) nên \(4c^2+c^2=5c^2\ge a^2+b^2\) (trái với gt)

Với \(c\ge b\) chứng minh tương tự của dẫn đến vô lí.

Do đó c là cạnh nhỏ nhất.Khi đó:

\(a+b+c>3c\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o>3.\widehat{C}\Leftrightarrow\widehat{C}< 60^o\) (đpcm)

Không chắc nha!Sai đừng trách.

Giả sử \(c\ge a>0\)\(\Rightarrow c^2\ge a^2\)mà \(a^2+b^2>5c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2>5a^2\Rightarrow b^2>4a^2\Rightarrow b>2a\) (1)

Vì \(c^2\ge a^2\Rightarrow c^2+b^2\ge a^2+b^2>5c^2\Rightarrow b^2>4c^2\Rightarrow b>2c\)(2)

Từ (1) và (2) => 2b>2a+2c => b> a + c (vô lý) => c<a

Tương tự ta được c<b => c là độ dài cạnh nhỏ nhất

=> \(\widehat{C}\)là góc nhỏ nhất \(\Rightarrow\widehat{C}< \widehat{A}\)và \(\widehat{C}< \widehat{B}\)

=> \(3\widehat{C}< \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{C}< 60^o\)

Vậy \(\widehat{C}< 60^o\)(đpcm)

Góc C >60 độ nha. Mình đánh nhầm

C<60 mình vẫn nhầm

Giả thiết tương đương: 

\(a^4+b^4+c^4+2b^2c^2=2a^2\left(b^2+c^2\right)+2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+\left(b^2+c^2\right)^2=2a^2\left(b^2+c^2\right)+2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2+c^2-a^2\right)^2=2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=\pm\sqrt{2}bc\)

\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\pm\sqrt{2}bc}{2bc}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A=45^0\\A=135^0\end{matrix}\right.\)