Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\frac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)

Lại có : \(x\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=4\)( theo AM-GM )

=> \(\frac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)

=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)

Vì \(x+y+z=4\Rightarrow x=4-\left(y+z\right)\)

Mặt khác : \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge1\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge x\left(1\right)\)

Thay x = 4 - ( y +z ) vào (1) ta được

\(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\ge4-\left(y+z\right)\Leftrightarrow\frac{1}{y}-2+y+\frac{1}{z}-2+z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\) luôn đúng

dấu " = " xảy ra khi y = z = 1 và x= 2

Một hướng giải bằng Cô si (AM-GM) đỡ cồng kềnh hơn!

\(VT=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{4^2}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(y=z;x=y+z;x+y+z=4\)

\(\Rightarrow x=2;y=z=1\)

Vậy...

@Ace Legona help me

@Akai Haruma

\(4=\frac{x}{2}+y+\frac{x}{2}+z\ge\sqrt{2xy}+\sqrt{xz}\)

đặt căn 2xy là a,,,,,,căn 2xz là b ....Ta có \(a+b\le4\) và cần CM :\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4}{a+b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\Rightarrowđpcm\)

Câu hỏi của Lê Thanh Thưởng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

bài này dòng thứ 3 mình gõ nhầm nhé sửa thành "Từ x+y+z=4"

vào câu hỏi tương tự nha bạn

k tui nha

thanks

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x\left(y+z\right)\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=4\)=> \(\dfrac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)=> \(\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)=> \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 ; y = z = 1

Áp dụng BĐT cô si 

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\)

\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\)

\(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)

Cộng vế với vế của ba BĐT :

=> \(A\ge x+y+z=1\)

Vậy ....