a) Mặt phẳng (M, d) cắt (α) theo giao tuyến M 1 M 2 . Điểm A cũng thuộc giao tuyến đó. Vậy đường thẳng M 1 M 2  luôn luôn đi qua điểm A cố định.

b) Mặt phẳng (M, d) cắt (β) theo giao tuyến BM. Điểm K thuộc giao tuyến đó nên ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Giả sử b cắt m tại I thì mặt phẳng ( S 1 ,   b ) luôn luôn cắt (α) theo giao tuyến I M 1 . Do đó điểm M 1  di động trên giao tuyến của I M 1  cố định. Còn khi M di động trên b thì mặt phẳng ( S 2 ,   b ) cắt (α) theo giao tuyến I M 2 . Do đó điểm M 2  chạy trên giao tuyến I M 2 cố định.

a và b cắt nhau tại I

I ∈ a ∈ α (vì a là giao tuyến của α và λ)

I ∈ b ∈ β ( vì b là giao tuyến của β và λ)

Nên I là điểm chung của α và β

a) I, A’, B’ là ba điểm chung của hai mặt phẳng (OAB) và (β) nên chúng thẳng hàng.

b) I, J, K là ba điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng.

* Dựng \(\Delta OAB\)vuông tại A có: \(\widehat{AOB}=\alpha\)

Dựng \(\Delta OBC\)vuông tại B có: \(\widehat{BOC}=\beta\)và OC = 1 (đơn vị độ dài)

Từ C hạ \(CD\perp OA\)tại D \((D\in OA)\)

Từ B hạ \(BH\perp CD\)tại H (\(H\in CD\))

Ta có: \(\widehat{AOB}=\widehat{BCD}=\widehat{BCH}=\alpha\)(góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Xét \(\Delta BOC\)có: \(\sin\beta=\frac{BC}{OC}=\frac{BC}{1}\Rightarrow BC=\sin\beta\)

\(\cos\beta=\frac{OB}{OC}=\frac{OB}{1}\Rightarrow OB=\cos\beta\)

Xét \(\Delta OAB\)có: \(\sin\alpha=\frac{AB}{OB}=\frac{AB}{\cos\beta}\Rightarrow AB=\sin\alpha.\cos\beta\)

Xét \(\Delta BCH\)có: \(\cos\alpha=\frac{CH}{BC}=\frac{CH}{\sin\beta}\Rightarrow CH=\cos\alpha.\sin\beta\)

Xét \(\Delta ODC\)có: \(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\frac{DC}{OC}=\frac{DC}{1}=DC\)

Mà DC = DH + CH = AB + CH 

=> \(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha.\cos\beta+\cos\alpha.\sin\beta\)(1)

Cách dựng tương đối giống ở trên khác ở chỗ : OB =1 (đơn vị độ dài), \(\widehat{OCB}=90^o\), \(\widehat{BOC}=\beta,\widehat{AOB}=\alpha-\beta\),\(\widehat{AOC}=\alpha\)

Ta có: \(\widehat{BCH}=\widehat{BCD}=\widehat{AOC}=\alpha\)(góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Xét \(\Delta BOC\)có: \(\sin\beta=\frac{BC}{OB}=\frac{BC}{1}=BC\Rightarrow BC=\sin\beta\)

\(\cos\beta=\frac{OC}{OB}=\frac{OC}{1}=OC\Rightarrow OC=\cos\beta\)

Xét \(\Delta OCD\)có:

\(\sin\alpha=\frac{CD}{OC}=\frac{CD}{\cos\beta}\Rightarrow CD=\sin\alpha.\cos\beta\)

Xét \(\Delta BCH\)có:

\(\cos\alpha=\frac{CH}{BC}=\frac{CH}{\sin\beta}\Rightarrow CH=\cos\alpha.\sin\beta\)

Xét \(\Delta OAB\)có:

\(\sin\left(\alpha-\beta\right)=\frac{AB}{OB}=\frac{AB}{1}=AB\)

Mà AB=DH= CD -CH = \(\sin\alpha.\cos\beta-\cos\alpha.\sin\beta\)

=> \(\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha.\cos\beta-\cos\alpha.\sin\beta\)(2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

\(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)=2.\sin\alpha.\cos\beta\)=> \(\sin\alpha.\cos\beta=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)}{2}\)(đpcm)

Ta có

Ta lại có AB′  ⊥  SC nên suy ra AB′ ⊥ (SBC). Do đó AB′  ⊥  B′C

Chứng minh tương tự ta có AD′  ⊥  D′C.

Vậy ∠ ABC =  ∠ AB′C =  ∠ AC′C =  ∠ AD′C =  ∠ ADC = 90 °

Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.

làm ra chưa chỉ mình với