Lời giải:

Áp dụng công thức: \(\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\) ta có:

\(\text{VT}=\frac{1-\cos 2\alpha-(\cos 3\alpha-\cos \alpha)}{1-2\cos \alpha}=\frac{1-\cos 2\alpha+(-2)\sin 2\alpha\sin \alpha}{1-2\cos \alpha}(*)\)

Lại có:

\(\cos 2\alpha=\cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha=(\cos ^2\alpha+\sin ^2\alpha)-2\sin ^2\alpha\)

\(=1-2\sin ^2\alpha\)

\(\Rightarrow 1-\cos 2\alpha=2\sin ^2\alpha(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}=\frac{2\sin ^2\alpha-2\sin 2\alpha\sin \alpha}{1-2\cos \alpha}\)

\(=\frac{2\sin ^2\alpha-4\sin \alpha\cos \alpha\sin \alpha}{1-2\cos \alpha}=\frac{2\sin ^2\alpha(1-2\cos \alpha)}{1-2\cos \alpha}=2\sin ^2\alpha\)

Ta có đpcm.

a)
^MAC = ^MCA = a ---> ^AMH = ^MAC + ^MCA = 2a
sin2a = sinAMH = AH/MA = 2AH/BC = 2(AH/AC).(AC/BC) = 2 sina.cosa

b)
1+cos2a = 1+cosAMH = 1+MH/MA = (MA+MH)/MA = CH/MA = 2CH/BC =
= 2 (CH/AC).(AC/BC) = 2 cosa.cosa = 2 cos^2 (a)

c)
1-cos2a = 1-cosAMH = 1-MH/MA = (MA-MH)/MA = BH/MA = 2BH/BC =
= 2 (BH/AB).(AB/BC) = 2 sinBAH.sinACB = 2 sin^2 (a)
(^BAH = ^ACB = a vì chúng cùng phụ với góc ABC)

Vì tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

\(\(\Rightarrow MA=MB=MC=\frac{BC}{2}\)\)

=> tam giác MAC cân tại M

=> ^MAC = ^ MCA \(\(=\alpha\)\)

Mà ^AMB là góc ngoài tam giác MAC

\(\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\alpha\)\)

Có \(\(1-cos2\alpha=1-\frac{MH}{MA}=\frac{MA-MH}{MA}=\frac{MB-MH}{MA}=\frac{BH}{BM}\)\)

Lại có :\(\(sin\alpha=\frac{AB}{BC}\)\)

\(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2AB^2}{BC^2}\)\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\(AB^2=BH.BC\)\)

\(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2BH.BC}{BC^2}=\frac{2BH}{BC}\)\)

Mà BC = 2 BM \(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2BH}{2BM}=\frac{BH}{BM}=1-cos2\alpha\)\)

Vậy \(\(1-cos2\alpha=2sin^2\alpha\)\)