Lời giải:

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{7}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{7}\)

\(\Rightarrow 7(x+y)=xy\)

\(\Leftrightarrow (xy-7x)-7y=0\)

\(\Leftrightarrow x(y-7)-7(y-7)=49\)

\(\Leftrightarrow (x-7)(y-7)=49(*)\)

Vì $x,y$ đều là số nguyên dương nên \(x-7,y-7\geq -6\)

Do đó từ $(*)$ ta có xét những TH sau:

TH1: \(\left\{\begin{matrix} x-7=1\\ y-7=49\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=8\\ y=56\end{matrix}\right.\) (t/m)

TH2: \(\left\{\begin{matrix} x-7=49\\ y-7=1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=56; y=8\) (t/m)

TH3: \(\left\{\begin{matrix} x-7=7\\ y-7=7\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=14\) (t/m)

Vậy ......

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7}\Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{y-7}{7y}\Rightarrow x=\dfrac{7y}{y-7}=7+\dfrac{49}{y-7}\)

Để x, y nguyên \(\Rightarrow49⋮y-7\Rightarrow y-7=Ư\left(49\right)=\left\{-49;-7;-1;1;7;49\right\}\)

\(y-7=-49\Rightarrow y=-42< 0\) (loại)

\(y-7=-7\Rightarrow y=0\) (loại)

\(y-7=-1\Rightarrow y=6\Rightarrow x=-42< 0\) (loại)

\(y-7=1\Rightarrow y=8\Rightarrow x=56\)

\(y-7=7\Rightarrow y=14\Rightarrow x=14\)

\(y-7=49\Rightarrow y=56\Rightarrow x=8\)

Vậy pt có 3 cặp nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(56;8\right);\left(14;14\right);\left(8;56\right)\)

Tuy đã 5 năm rồi nhưng tôi vẵn làm vậy :)

cái này phải vận dụng cái giả thiết cho là nghiệm nguyên dương

   \( x^2+(x+y)^2=(x+9)^2\)

\(<=>x^2+x^2+2xy+y^2=x^2+18x+81\)

\(<=>(x+y)^2=18x+81\)

Ta có:\((x+y)^2-x^2=(x+y-x)(x+y+x)=y(2x+y)>0\)

\(=>(x+y)^2>x^2\)

\(=>18x+81>x^2\)

\(=>x^2+18x+81>2x^2>x^2\) (1)

Lại có:\(18x+81=(x^2+18x+81)-x^2=(x+9)^2-x^2<(x+9)^2\)(2)

Từ (1) và (2)

\(=>x^2<18x+81=(x+y)^2<(x+9)^2\)

\(=>18x+81=(x+1)^2,(x+2)^2,...,(x+8)^2\)

Chịu khó giải ra nha bn