Hãy tích cho tui đi

vì câu này dễ mặc dù tui ko biết làm 

Yên tâm khi bạn tích cho tui

Tui sẽ ko tích lại bạn đâu

THANKS

\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Dấu ''='' xảy ra <=> a = b = c = 1 

`a^2+b^2+c^2+3=2(a+b+c)`

`<=>a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0`

`<=>a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1=0`

`<=>(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0`

`VT>=0`

Dấu "=" `<=>a=b=c=1`

Áp dụng bđt cosi ta có:

`a^2+b^2>=2ab`

`b^2+c^2>=2bc`

`c^2+a^2>=2ca`

`=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`

`=>a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca`

`=>(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)`

Dấu '=" `<=>a=b=c`

3 không rõ đề

\(4.\)

\(a.A=5-8x-x^2\)

\(=-\left(16+8x+x^2\right)+21\)

\(=-\left(4+x\right)^2+21\le21\)

\(A_{max}=21\)

Dấu '='xảy ra khi \(x=-4\)

\(b.B=5-x^2+2x-4y^2-4y\)

\(=-\left(1-2x+x^2\right)-\left(4+4y+4y^2\right)+10\)

\(=-\left(1-x\right)^2-\left(2+2y\right)^2+10\le10\)

\(B_{max}=10\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=1;y=-1\)

\(5.\)

\(a.\) Ta có:\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

              \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

              \(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

              \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

              \(\Leftrightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b\left(1\right)\)

              hay\(b-c=0\Leftrightarrow b=c\left(2\right)\)

             hay\(c-a=0\Leftrightarrow c=a\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)và\(\left(3\right)\)suy ra:\(a=b=c\left(đpcm\right)\)

\(b.a^2-2a+b^2+4b+4c^2-4c+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2+4b+4\right)+\left(4c^2-4c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(2c-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

hay\(b+2=0\Leftrightarrow b=-2\)

hay\(2c-2=0\Leftrightarrow c=1\)

V...

^^

a, a²+b²+c²+3=2(a+b+c)

a²+b²+c²+3-2a-2b-2c=0

(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)=0

(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=0

mà (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²\(\ge\)0

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)

=> a=b=c=1

a, Có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}=\frac{1}{bc+b+1}\\\frac{a}{ab+a+1}=\frac{ac}{abc+ac+c}=\frac{ac}{ac+c+1}\end{cases}}\)

Tương tự cho 2 phân số còn lại sau đó cộng vế theo vế ta được:

\(3S=\frac{ab+a+1}{ab+a+1}+\frac{bc+b+1}{bc+b+1}+\frac{ca+c+1}{ca+c+1}=3\Leftrightarrow S=1\)

2, Chú ý: a+b+c=0 và a+b=-c

Xét: \(A=a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2\right)^2+c^2-2a^2b^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\left(ab+bc+ca\right)^2\)

Vậy thay 2 biểu thức trên vào ta được: ĐPCM

c) Ta có: \(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4y+4\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-1\right)=7\)

Do x,y>0 => x+y+3>x-y-1

Vậy pt <=> \(\hept{\begin{cases}x-y-1=1\\x+y+3=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=2\\x+y=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy (x,y)=(3,1)

câu a bổ sung : Biểu thức =1

1) a² +b² +c²>= ab +bc +ca <=> 2a² +2b² +2c² >=2ab +2bc +2ca <=> 2a² +2b² +2c² -2ab -2bc -2ca >= 0

<=> (a -b)² +(b -c)² + (c -a)² >= 0 (bđt đúng với mọi a, b, c)

2) Áp dụng bđt Cauchy với a, b, c > 0 ta có :

\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc.ab}{ac}}=2b\)

tương tự : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\); \(\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\ge2c\)

Cộng từng vế 3 bđt trên suy ra đpcm

3) Từ gt a a +b =c => a +b -c =0 => (a +b -c)² = 0 => a² +b² +c² +2ab -2bc -2ca = 0

=> a² +b² +c² = 2bc + 2ca -2ab => (a² +b² +c²)² = (2bc +2ca -2ab)² 

=> a⁴ +b⁴ +c⁴ +2a²b² +2b²c² +2c²a² = 4b²c² +4c²a² +4a²b² +4abc²-4a²bc - 4ab²c

=> a⁴ +b⁴ +c⁴ -2a²b² -2b²c² -2c²a² = 4abc(c -a -b) = 4abc.0 =0

Vậy a⁴ +b⁴ +c⁴ = 2a²b² +2b²c² +2c²a²

Mọi người giúp  mình bài nay với. Mai mình nộp bài mà mình lại học toán hơi kém tí.  Thanhks trước. 

Bài 1: cho a, b, c thuộc  R.

Chứng minh a² + b² + c²  >=  ab+ac+bc

Bài 2:cho a, b, c >0.

 Chứng minh (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)>= a+b+c

Bài 3: cho a, b, c thoả mãn a+b=c.  

Chứng  minh  a⁴  +b⁴ +c⁴  =2a²b² +2b²c² + 2a²c²

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

a/ \(\frac{4bc-a^2}{bc+2a^2}.\frac{4ab-c^2}{ab+2c^2}.\frac{4ac-b^2}{ac+2b^2}\)

\(=\frac{4bc-\left(b+c\right)^2}{bc+2\left(b+c\right)^2}.\frac{4\left(-b-c\right)b-c^2}{\left(-b-c\right)b+2c^2}.\frac{4\left(-b-c\right)c-b^2}{\left(-b-c\right)c+2b^2}\)

\(=\frac{-\left(b-c\right)^2}{\left(c+2b\right)\left(b+2c\right)}.\frac{-\left(c+2b\right)^2}{-\left(b-c\right)\left(b+2c\right)}.\frac{-\left(b+2c\right)^2}{\left(b-c\right)\left(c+2b\right)}=1\)